Żebra łukowe: siły i momenty, ciąg i ścinanie

Po przeczytaniu tego artykułu dowiesz się o: - 1. Siły i momenty na żebrach łukowych 2. Normalny ciąg na dowolnym przekroju żebra łuku 3. Ścinanie promieniowe 4. Linie wpływów.

Siły i momenty na żebrach łukowych:

ja. Efekt temperaturowy:

Jeden łuk z dwoma zawiasami i jeden łuk wiązany pokazano na ryc. 13.8, co pokazuje wpływ wzrostu temperatury na żebra łukowe. Ze względu na wzrost temperatury, żebro łukowe ACB będzie miało długość AC'B dla łuku dwuprzegubowego i AC'B dla łuku wiązanego.

Wpływ temperatury w przypadku łuku dwuprzegubowego będzie inny niż w przypadku łuków wiązanych. W przypadku tego pierwszego, ponieważ nie ma przemieszczenia podpór, zwiększenie długości żebra łuku będzie oferowało nacisk, Ht na podporach, a korona łuku będzie skierowana pionowo w górę od C do C '.

W przypadku tego ostatniego walec spróbuje jednak pozwolić, aby wolny koniec B przesunął się do B 'i jako taki spróbuje zwolnić nacisk, ale krawędź z drugiej strony będzie próbowała utrzymać koniec B na swoim miejscu aż do rozciągnięcia do takiego stopnia, że ​​siła rozciągająca w krawacie jest równa naciągowi łuku.

Siła ta dla wiązanych łuków będzie mniejsza niż dla łuków zawiasowych, (rozpiętość, wznoszenie itp. Obu łuków pozostających bez zmian). Jednakże, odkształcenie w postaci małego ściągacza, zmniejszenie H, nie będzie bardzo znaczące i jako takie, ze wszystkich praktycznych zastosowań, zarówno krawędź, jak i żebro łukowe mogą być zaprojektowane dla Ht nawet dla zawiązanych łuków.

Jeśli, t, jest wzrostem temperatury, a α, jest współczynnikiem rozszerzalności, wówczas ACB żebra łuku wzrośnie do AC'B tak, że AC'B = ACB (1 + αt). Jeżeli L jest rozpiętością łuku, wówczas można udowodnić, że podpora B, jeśli swobodnie się porusza z powodu efektu temperatury, przejdzie poziomo w kierunku B tak, że BB '= Lαt.

Oznacza to, że zapobiegając ruchowi B, pozioma ekspansja zatrzymanego łuku jest równa Lαt.

Jeżeli H t jest ciągiem poziomym z powodu zapobiegania rozszerzaniu się łuku, moment zginający na elemencie łuku na wysokości y od sprężyny podaje:

M = H t y (13.35)

Wiadomo, że poziomy wzrost rozpiętości δL łuku w wyniku momentu zginającego wynika z:

Przekrój i jako takie momenty bezwładności przekroju łuku zmieniają się od maksimum przy przyczółkach do minimum w koronie. Dla celów projektowania moment bezwładności dowolnej sekcji x można przyjąć jako I = I C sec θ gdzie I C jest momentem bezwładności przekroju korony, a θ jest nachyleniem łuku.

Podstawienie ds = dx sec θ i I = I c Sec θ, równanie 13.37 staje się:

Skurcz i plastyczny przepływ betonu skracają żeberko łuku i jako taki H staje się przyciąganiem na przyczółki. Spadek temperatury będzie również powodował ciągnięcie, a zatem wpływ spadku temperatury będzie należycie uwzględniany wraz ze skurczem i plastycznym przepływem betonu, aby zaspokoić najgorsze warunki.

ii. Skracanie łuku:

Z powodu skracania łuku zmniejsza się część siły poziomej spowodowanej obciążeniem zewnętrznym.

Siłę poziomą spowodowaną obciążeniem zewnętrznym określa:

Zredukowana wartość H spowodowana obciążeniem zewnętrznym, w tym efekt skracania łuku, może być wyrażona następującym wyrażeniem:

Tam, gdzie M 1 = B jest momentem końcowym dowolnej sekcji z powodu obciążeń zewnętrznych, łuk jest traktowany jako prosta podparta.

A = powierzchnia przekroju żeber łuku w dowolnym punkcie.

E = moduł Younga betonu łukowego.

Gdy E jest stałe dla tego samego łuku i ds = dx sek θ A = Ac Sec θ (w przybliżeniu) i I = I C sec θ, równanie 13.41 staje się:

Jeżeli znany jest H a, moment M a, w dowolnej części łuku z powodu obciążenia zewnętrznego, w tym efekt skracania łuku, można ocenić na podstawie wyrażenia podanego poniżej:

M a = (M 1 - H a y) (13, 43)

iii. Skurcz i plastyczny przepływ betonu:

Efekt skurczu żebra łukowego jest podobny do tego ze względu na spadek temperatury. Odkształcenie skurczowe, Cs, może zatem zastąpić odkształcenie temperatury, w równaniu 13.39, aby uzyskać ciągnięcie H s ze względu na skurcz.

Jeśli chodzi o wpływ plastycznego przepływu betonu, wartość E może być modyfikowana do połowy wartości chwilowej przy określaniu sił i momentów.

Podczas badania wyrażeń 13.39, 13.40, 13.42 i 13.44 dla oceny sił poziomych można zauważyć, że plastikowy przepływ betonu wpływa tylko na temperaturę i skurcz, ponieważ wyrażenia dotyczące tych efektów zawierają wyłącznie Eter.

Przykład ilustracyjny 1:

Dwuprzegubowy łuk paraboliczny o rozpiętości 40 m jest obciążony ładunkiem o wartości 120 KN w każdym punkcie czwartym (rys. 13.9). Powstanie łuku wynosi 5m. Moment bezwładności żebra łuku zmienia się jako sieczka zbocza łuku. Znajdź siły i momenty uwzględniające wpływ zmian temperatury, skracania łuku, skurczu i plastycznego przepływu betonu.

Dany:

a = 11, 7 x 10-6 na stopień Celsjusza, Cs = 4 x 10-4, E = 31, 2 x 10 4 kg / cm2, t = 18 ° C, A c = bxd = 30 x 150 cm = 4500 cm2, C = 8, 5 x 10 6 cm 4 .

Rozwiązanie:

Z równania 13.10 równanie parabolicznego żebra łukowego jest następujące:

Integracja licznika:

Integracja mianownika:

Momenty zginające dla obciążeń zewnętrznych i ciągów poziomych:

y przy C = x / 80 (40 - x) = 10/80 (40 - 10) = 3, 75 m; y przy D = 5, 0m

. . . Moment przy A = Moment przy B = 0 (ponieważ łuk jest zawiasowo w A i B)

Moment w C = Moment w E = (M-Hy) = (V A x-Hy) = 180 x 10 - 455 x 3, 75 = 93, 75 KNm

Moment przy D = V A x - 120 (x - 10) - Hy = 180 x 20 - 120 (20- 10) - 455 x 5 = 125 KNm

Efekt temperaturowy:

Wpływ zmiany temperatury przyjmuje się jako 2/3 rzeczywistej zmiany temperatury,

Skracanie łuku:

Z równania 13.42, wartość H, w tym efekt skrótu łuku, podaje:

Wpływ skurczu:

Współczynnik skurczu, Cs = 4 x 10 - 4

Jeżeli żebro łukowe jest betonowane w sekcje w celu zmniejszenia skurczu, wartość ta może wynosić 50 procent wartości Cs, tj. 2 x 10-4.

Wpływ plastycznego przepływu:

Wartość E można przyjąć jako połowę podczas szacowania temperatury i efektu skurczu. Dlatego wartości H t i H s można zmniejszyć o 50 procent, biorąc pod uwagę plastyczny przepływ betonu łukowatego żebra.

Podsumowanie rezultatów:

(a) H ze względu na obciążenia zewnętrzne = 455 KN (Thrust)

(b) H biorąc pod uwagę skrócenie łuku = 448, 6 KN (pchnięcie)

(c) H t ze względu na temperaturę, w tym przepływ plastyczny = 50% z 27, 4 = ± 13, 7 KN (ciąg lub pociągnięcie)

(d) H s z powodu skurczu, w tym przepływu plastycznego = 50% z 39, 0 = (-) 19, 5 KN (pull)

. . . Maksymalna H = 448, 6 + 13, 7 - 19, 5 = 442, 8 KN (siła ciągu)

Minimum H = 448, 6 - 13, 7 - 19, 5 = 415, 4 KN (siła ciągu)

Design Moment na łukowatym żebrze w różnych sekcjach:

Momenty zginające na różnych odcinkach łuku pokazano na rys. 13.10. Można zauważyć, że poziomy nacisk indukowany w łukowatym żebrze zmniejszył swobodne momenty zginające o prawie 87 procent.

Normalny nacisk na dowolną sekcję łuku żebrowego:

Przy projektowaniu dowolnej części żeber łuku, musi być znana wielkość momentu zginającego i normalnego ciągu. Momenty zginające dla martwych obciążeń i innych efektów, takich jak temperatura, skrócenie łuku, skurcz, przepływ tworzywa itp. Można uzyskać, jak opisano wcześniej.

Momenty zginające dla obciążeń żywych można uzyskać za pomocą linii wpływu. Dlatego, aby uzyskać wszystkie siły obliczeniowe i momenty dla każdej krytycznej części łuku, muszą być znane nie tylko momenty zginające, ale również siły ciągu i nożyce.

Procedura została teraz wyjaśniona. Normalny ciąg dla dowolnej sekcji X żebra łuku na odległości x od A i poddany poziomemu ciągowi, H i pionowemu naporowi, V jest określony przez P x = H cos θ + V sin θ.

Jeśli występuje ruchomy ciężar działający na łuk, wówczas normalny ciąg na odcinku X (w odległości x od A) jest określony przez:

(a) Gdy obciążenie W mieści się w przedziale od A do X:

P X = H A cosθ + V A sinθ - W sinθ

= H A cosθ - (W - V A ) sin θ = H A cos θ - V B sin θ (13.47)

(b) Gdy obciążenie mieści się między X a B:

P X = H A cosθ + V A sinθ (13.48)

Radial Shear w Arch Rib:

Przy projektowaniu dowolnej sekcji znane są wartości momentu zginającego, ścinania i siły ciągu normalnego. Metoda wyznaczania momentu zginającego i ciągu normalnego. W niniejszym artykule wyjaśniono ocenę ścinania promieniowego.

Podobnie jak w przypadku ciągu normalnego, jeżeli obciążenie ruchowe W wynosi od A do X, promieniowe ścinanie S X w przekroju jest określane przez:

Wpływ linii na żebro łukowe:

W poprzednich artykułach omówiono procedurę wyznaczania momentów, naporu i ścinania dla dowolnego przekroju dla obciążeń statycznych. W przypadku mostów, pojazdy, które most musi nieść, nie są statyczne, lecz ruchome, a zatem ocena momentu, siły ciągu i ścinania musi odbywać się za pomocą linii wpływu. Metoda rysowania linii wpływu dla dwóch zawiasowych łuków parabolicznych.

Linie wpływów dla dwuprzegubowych łuków parabolicznych:

Linie wpływu dla ciągu poziomego przy przyczółkach:

Wytrzymałość pozioma w łuku dwuprzegubowym niosącym jednostkowe obciążenie skupione w punkcie P w odległości "a" od punktu początkowego jest określona przez,

Kompletny wykres linii wpływów dla ciągu, H pokazano na rys. 13.12b. Współczynnik rzędnych diagramu linii wpływu dla różnych wartości "a" podano w tabeli 13.1.

Uwaga:

(a) Rzędne dla diagramu IL = współczynnik x L / r.

(b) Pchnięcie z powodu skoncentrowanego obciążenia W = rzędna x W.

(c) Pchnięcie z powodu rozłożonych obciążeń, ω / m = Obszar inf. diag linii ω.

Schemat linii wpływu dla momentu zginania w sekcji X:

Schemat linii wpływów dla momentu w X (uogólniony diagram) pokazano na rys. 13.13a, a ten sam na x = 0, 25L, a x = 0, 5L (na koronie) pokazano na rys. 13.13b. Współczynniki dla rzędnych dla momenty w różnych sekcjach (tj. x = 0, 0, 1 l, 0, 2 l itp.) dla różnych pozycji obciążenia (tj. a = 0, 0, 1 l, 0, 2 l itp.) pokazano w tabeli 13.2.

Współrzędne dla wykresu linii wpływów należy uzyskać przez pomnożenie współczynników przez L. Moment M X dla skoncentrowanego obciążenia W = współczynnik x WL.

Diagram linii wpływu dla normalnego ciągu w punkcie X:

Normalny ciąg w dowolnym przekroju X uzyskuje się za pomocą równania 13.47 lub 13.48, tj. P X = H A cos θ - V B sin θ lub H A cos θ + V A sinθ w zależności od tego, czy obciążenie znajduje się po lewej, czy po prawej stronie sekcji X odpowiednio.

Linie wpływu dla V A sin θ i V B sin θ są dwiema równoległymi liniami mającymi rzędne końcowe równe sinowi θ, ponieważ V A lub V B dla jednostkowego ruchu ładunku na końcach staje się jednością. Linia wpływu dla H cos θ jest cos θ razy linia wpływów dla H, jak uzyskano poprzednio. Schemat linii wpływów dla P X pokazano na rys. 13.14a.

Diagram linii wpływu promieniowego ścinania na X:

Promieniowe ścinanie w X jest podane przez równanie S X = H A sinθ + V B cosθ lub H A sinθ - V A cosθ w zależności od tego, czy ładunek jednostkowy znajduje się po lewej, czy po prawej stronie sekcji X.

Linie wpływu dla V A cosθ i V B cosθ są dwiema równoległymi liniami mającymi rzędne końcowe równe cosθ z jednostką ruchomego obciążenia. Linia wpływu dla H sinθ jest sinθ razy większa od linii wpływów dla H, jak uzyskano poprzednio. Ostateczny wykres linii wpływu promieniowego ścinania w X przedstawiono na rys. 13.14b.

Diagram linii wpływów dla łuków trójzawieszanych i łuków stałych:

Schematy linii wpływów dla nacisków na przyczółki, momenty, naciski normalne i promieniowe ścinanie na przekroju X dla trzech zawiasowych łuków i stałych łuków mogą być wciągnięte w ten sam sposób, jak wyjaśniono w przypadku łuków z dwoma zawiasami.

Jednakże, dla gotowego odniesienia, schematy linii wpływów dla ciągu poziomego, H i dla momentu na przekroju X dla łuku parabolicznego z trzema zawiasami są pokazane na Fig. 13.15, a wykresy dla stałego łuku parabolicznego są pokazane na Fig. 13.16.

Diagramy linii wpływów dla momentów o przekrojach x = 0, 2L i x = 0, 4L dla łuku trójskubowego i na odcinkach x = 0, 2 L i x = 0, 5 L dla stałych łuków parabolicznych są pokazane odpowiednio na Rys. 13.17a i 13.17b. Współczynniki rzędnych dla ciągu, H i momentów na różnych przekrojach, zarówno dla trzech zawiasów, jak i stałych łuków parabolicznych, podano w tabelach 13.3, 13.4, 13.5 i 13.6.

Uwaga:

(a) Rzędna dla diagramu linii wpływu = współczynnik x L / r.

(b) Pchnięcie z powodu skoncentrowanego obciążenia, W = rzędna x W.

(c) Pchnięcie spowodowane rozłożonym obciążeniem, ω / m = obszar inf. L. diag. x ω.

Uwaga:

(a) Wiersz diagramu IL = współczynnik x L / r.

(b) Ciąg, H dla obciążenia punktowego, W = co-eff. x WL / r = rzędna x W.

(c) Ciąg, H dla obciążenia rozproszonego, ω / m = Obszar diagr. x ω.

Wykorzystanie współczynników wpływów w ocenie ciągu i momentów przy ładunkach statycznych:

Diagramy linii wpływów służą do oceny maksymalnego ciągu poziomego, momentu itp. Dla przemieszczających się obciążeń. Te diagramy i tabele linii wpływów mogą być również wykorzystywane do wyznaczania ciągu, momentu itp. Również dla dowolnego obciążenia statycznego.

Przykład ilustracyjny 2:

Oceń ciąg i momenty dla łuku parabolicznego, jak podano w Przykładzie 13.2 i na Rys. 13.9, za pomocą diagramów i współczynników linii wpływu.

Rozwiązanie:

Z tabeli 13.1 współczynniki ciągu dla obciążenia jednostkowego 0, 25L, 0, 5L i 0, 75 L wynoszą odpowiednio 0, 1392, 0, 1953 i 0, 1392.

Pchnięcie jak ustalono poprzednio = 455 KN. Stąd wartość uzyskana za pomocą współczynników linii wpływów zgadza się z poprzednią wartością wyliczoną przy użyciu wzorów.

Współczynniki dla momentów przy C (x = 0, 25 L), D (x = 0, 5 L) i E (x = 0, 75 L) dla obciążeń przy C (a = 0, 25 L), D (a = 0, 5 L) i E (a = 0, 75L) są jak poniżej:

Współczynniki w C lub E (tj. 0, 25L lub 0, 75L):

Współczynniki przy D (np. 0, 5L):

Dlatego wartości uzyskane za pomocą współczynnika linii wpływów zgadzają się z wartościami za pomocą wzoru. Mała zmienność wynika z przybliżonych współczynników (maksymalnie trzech miejsc dziesiętnych) użytych w tabeli. Choć przybliżona, metoda za pomocą współczynników linii wpływów jest bardzo szybka i jako taka ma pewną przewagę nad wcześniej stosowaną metodą.