Zdanie: Twierdzenie; Kategoryczne twierdzenia, klasy i kwantyfikacja | Filozofia

Zdanie: Twierdzenie; Zdania kategoryczne, klasy i kwantyfikacja!

Zdanie:

Zdanie jest jednostką gramatyczną i jest analizowane gramatycznie na słowa. Zdanie może być poprawne lub niepoprawne; zasady gramatyki go określają. Zdanie może być asertywne, pytające, wykrzyknikowe, optatywne lub imperatywne.

Zdjęcie dzięki uprzejmości: upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c1/Dublin_Castle_Gates_of_Fortitude_and_Justice_05.JPG

Zdanie może wyrażać zdanie, ale różni się od zdania. Zwyczajowo rozróżnia się zdania i twierdzenia, które mogą być użyte do potwierdzenia. Dwa zdania, które są wyraźnie dwa, ponieważ składają się z różnych wyrazów inaczej ułożonych, mogą w tym samym kontekście mieć to samo znaczenie i mogą być użyte do potwierdzenia tego samego zdania. Na przykład,

Indie zdobyły mistrzostwo świata.

Puchar świata wygrał Indie.

są dwoma różnymi zdaniami, ponieważ pierwszy zawiera pięć słów, podczas gdy drugi zawiera siedem; pierwszy zaczyna się od słowa "Indie", podczas gdy drugi zaczyna się od słowa "The", i tak dalej. Jednak oba zdania mają dokładnie to samo znaczenie. Używamy terminu "propozycja", aby odnieść się do tego, co takie zdania, jak te zdania deklaratywne, są zwykle używane do potwierdzenia.

Zdanie jest zawsze zdaniem w danym języku, języku, w którym jest używane. Ale zdania, bardziej kluczowe dla logiki, nie są właściwe dla żadnego języka.

Pojęcia "propozycja" i "oświadczenie" nie są dokładnymi synonimami, ale w kontekście logicznego dochodzenia są używane w tym samym znaczeniu. Niektórzy autorzy logiki preferują "wypowiedź" do "propozycji", chociaż ta ostatnia jest bardziej powszechna w historii logiki.

Propozycja:

Zdanie jest wyrazem sądu. Jest to opis lub stwierdzenie jakiegoś faktu, który jest albo prawdziwy, albo fałszywy. Jest to również jednostka logiczna. Zdanie może być prawdziwe lub fałszywe, które określają fakty. Zdanie jest stwierdzeniem pewnej relacji między dwoma terminami. Składa się on zatem z trzech części, a mianowicie: dwóch terminów i znaku relacji między nimi. Spośród tych dwóch terminów jeden nazywa się podmiotem, drugi nazywany jest orzecznikiem, a znak zależności nazywany jest kopulą.

Przedmiotem twierdzenia jest termin, o którym mowa (tzn. Potwierdzony lub odrzucony), orzeczenie to termin, który jest stwierdzony (tj. Potwierdzony lub odrzucony) dotyczący podmiotu; a kopuła jest oznaką afirmacji lub odmowy.

Propozycje są podzielone na kategoryczne i warunkowe, zgodnie z relacją. Zdanie kategoryczne to takie, w którym relacja między podmiotem a orzeczeniem nie ma żadnego warunku, w którym orzeczenie jest albo jednoznacznie potwierdzone, albo odmówione podmiotowi. Na przykład. Wszyscy ludzie są śmiertelni, żaden człowiek nie jest doskonały, niektórzy uczniowie są inteligentni, niektórzy mężczyźni nie są mądrzy itd. We wszystkich tych przypadkach relacja między podmiotem a orzeczeniem nie podlega żadnym warunkom.

Z drugiej strony, zdanie warunkowe to takie, w którym potwierdzenie lub zaprzeczenie stosunku między podmiotem a orzeczeniem jest dokonywane pod pewnymi warunkami. Na przykład, jeśli on przyjdzie, odejdę, Gdybym był bogaty, byłbym szczęśliwszy, albo pójdzie do college'u, albo pozostanie w domu itd. We wszystkich tych przypadkach relacja jest zależna od pewnych okoliczności, które muszą być spełnione. przyznane lub przypuszczalne, zanim zacznie obowiązywać.

Kategoryczne propozycje i klasy:

Istnieją cztery różne standardowe formy kategorycznej propozycji. Zilustrowano je czterema następującymi propozycjami:

1. Wszyscy politycy są kłamcami.

2. Żaden polityk nie jest kłamcą.

3. Niektórzy politycy są kłamcami.

4. Niektórzy politycy nie są kłamcami.

Pierwsza to uniwersalna propozycja twierdząca. Chodzi o dwie klasy, klasę wszystkich polityków i klasę wszystkich kłamców, mówiącą, że pierwsza klasa jest zawarta lub zawarta w drugiej. Uniwersalna afirmatywna propozycja mówi, że każdy członek pierwszej klasy jest również członkiem drugiej klasy. W niniejszym przykładzie termin "politycy" określa klasę wszystkich polityków, a termin "kłamcy" oznacza klasę wszystkich kłamców. Każda uniwersalna propozycja afirmatywna może być napisana schematycznie jako

Wszystko S to P.

gdzie litery S i P oznaczają odpowiednio temat i warunki orzecznika. Nazwa "uniwersalna afirmatywna" jest właściwa, ponieważ twierdzenie potwierdza, że ​​związek między klasą obejmuje dwie klasy i mówi, że włączenie jest kompletne lub uniwersalne: wszyscy członkowie S również są członkami P.

Drugi przykład,

Żadni politycy nie są kłamcami.

jest uniwersalną negatywną propozycją. Zaprzecza powszechnie politykom, że są kłamcami. W związku z dwiema klasami, uniwersalna negatywna propozycja mówi, że pierwsza klasa jest całkowicie wykluczona z drugiej, co oznacza, że ​​nie ma członka pierwszej klasy, która jest również członkiem drugiej.

Każda uniwersalna negatywna propozycja może być napisana schematycznie jako

No S to P.

gdzie, znowu litery S i P reprezentują warunki podmiotu i orzecznika. Nazwa "uniwersalny negatywny" jest właściwa, ponieważ twierdzenie zaprzecza temu, że stosunek klasowego włączenia utrzymuje się pomiędzy dwiema klasami - i odrzuca je uniwersalnie. Żadni członkowie w ogóle nie są członkami P.

Trzeci przykład,

Niektórzy politycy to kłamcy.

Jest szczególną propozycją twierdzącą. Oczywiście, co potwierdza obecny przykład, jest to, że niektórzy członkowie klasy wszystkich polityków są (także) członkami klasy wszystkich kłamców. Ale nie potwierdza tego powszechnie polityk: nie wszyscy politycy, ale raczej niektórzy politycy czy politycy, są kłamcami.

Ta propozycja ani nie potwierdza, ani nie zaprzecza, że ​​wszyscy politycy są kłamcami; nie wydaje oświadczenia w tej sprawie. Nie mówi się dosłownie, że niektórzy politycy nie są kłamcami, chociaż w niektórych kontekstach może to sugerować. Dosłowna, minimalna interpretacja obecnego twierdzenia jest taka, że ​​klasa polityków i klasa kłamców ma wspólnego członka lub członków.

Słowo "niektóre" jest nieokreślone. Czy to znaczy "co najmniej jeden" lub "co najmniej dwa" lub "co najmniej sto"? lub "ile"? Ze względu na konkretność, chociaż pozycja ta może w niektórych przypadkach odbiegać od zwyczajnego użycia, zwykle uznaje się słowo "część" za "co najmniej jedną". Tak więc konkretna propozycja twierdząca, napisana schematycznie jako

Niektóre S to P.

mówi, że co najmniej jeden członek klasy wskazany przez przedmiotowy termin S jest również członkiem klasy wskazanej przez predykatowe określenie P. Nazwa "konkretny afirmatywny" jest właściwy, ponieważ twierdzenie potwierdza, że ​​związek między klasą obejmuje, ale nie afirmuje go z pierwszej klasy powszechnie, ale tylko częściowo, z określonego członka lub członków pierwszej klasy.

Czwarty przykład,

Niektórzy politycy nie są kłamcami, jest to szczególnie negatywna propozycja. Ten przykład, podobnie jak poprzedni, nie odnosi się do polityków powszechnie, ale tylko do niektórych członków lub członków tej klasy; to jest szczególne. Ale w przeciwieństwie do trzeciego przykładu nie stwierdza, że ​​poszczególni członkowie pierwszej klasy, o których mowa, są zaliczani do drugiej klasy; to właśnie jest zabronione. Szczególna negatywna propozycja, schematycznie napisana jako

Niektóre S nie są P,

mówi, że co najmniej jeden członek klasy wskazany przez przedmiotowy termin S jest wykluczony z całej klasy określonej przez orzecznik P.

Tradycyjnie uważano, że wszystkie argumenty dedukcyjne można analizować pod względem klas, kategorii i ich relacji. W ten sposób wyjaśniono tylko cztery standardowe zdania kategoryczne:

Uniwersalna propozycja afirmatywna (propozycja A)

Uniwersalna negatywna propozycja (propozycja E)

Szczególnie twierdząca propozycja (propozycja I)

Szczególna negatywna propozycja (propozycja O)

uważano za budulec wszystkich argumentów dedukcyjnych. Wiele teorii logicznej, jak zobaczymy, zostało zbudowanych w odniesieniu do tych czterech rodzajów propozycji.

Ujęcie ilościowe:

We współczesnych wnioskach logicznych można również uzyskać propozycje w procesie zwanym "uogólnieniem" lub "kwantyfikacją". Terminy predykatów występują często w zdaniach innych niż pojedyncze. Tak więc zdania "Wszystko jest śmiertelne" i "Coś pięknego" zawierają terminy predykatów, ale nie są pojedynczymi zdaniami, ponieważ nie zawierają nazw konkretnych osób. Rzeczywiście, nie odnoszą się one konkretnie do konkretnych osób, są to ogólne propozycje.

Pierwsze mogą być wyrażone na różne sposoby, które są logicznie równoważne: albo jako "Wszystkie rzeczy są śmiertelne" albo jak

Biorąc pod uwagę każdą indywidualną rzecz, cokolwiek to jest śmiertelnik.

W tym ostatnim sformułowaniu słowo "to" jest zaimkiem względnym, odnoszącym się do słowa "rzecz", które poprzedza je w stwierdzeniu. Używając litery x, naszej indywidualnej zmiennej, zamiast zaimka "to" i jego poprzednika, możemy przepisać pierwszą ogólną propozycję jako

Biorąc pod uwagę dowolne x, x jest śmiertelne.

Lub możemy pisać

Biorąc pod uwagę dowolne x, Mx.

Chociaż funkcja zdaniowa Mx nie jest propozycją, mamy tu wyrażenie zawierające ją, która jest propozycją. Wyrażenie "Biorąc pod uwagę dowolne x" jest zwyczajowo symbolizowane przez "(x)", które nazywane jest "kwantyfikatorem uniwersalnym". Nasza pierwsza ogólna propozycja może być całkowicie symbolizowana jako

(x) Mx

Druga ogólna propozycja "Coś jest piękne" może być również wyrażona jako

Jest co najmniej jeden x, że x jest piękny.

Lub, używając notacji, możemy pisać

Jest co najmniej jeden x taki, że Bx.

Tak jak poprzednio, mimo że Bx jest funkcją zdaniową, mamy tu wyrażenie, które ją zawiera, jest propozycją. Wyrażenie "Istnieje co najmniej jeden x taki, że jest zwyczajowo symbolizowany przez" (ᴲx) ", który jest nazywany" kwantyfikatorem egzystencjalnym ". Druga ogólna propozycja może być całkowicie symbolizowana jako

(ᴲx) Bx

Widzimy więc, że zdania mogą być formułowane z funkcji zdaniowych przez instancję, czyli przez podstawienie stałej indywidualnej dla jej zmiennej indywidualnej, lub przez uogólnienie, czyli przez umieszczenie kwantyfikatora uniwersalnego lub egzystencjalnego przed nim.

Oczywiste jest, że uniwersalna kwantyfikacja funkcji zdaniowej jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej instancje substytucji są prawdziwe, a egzystencjalna kwantyfikacja funkcji zdaniowej jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy ma co najmniej jedną prawdziwą instancję zastępującą.

Jeśli uznamy, że istnieje co najmniej jedna osoba, wówczas każda funkcja zdaniowa ma co najmniej jedną instancję zastępującą. Oczywiście ta instancja podstawiania niekoniecznie jest prawdziwa. Zgodnie z tym założeniem, jeśli uniwersalna kwantyfikacja funkcji zdaniowej jest prawdziwa, to jej egzystencjalna kwantyfikacja jest również prawdziwa.

Wszystkie wspomniane dotychczas funkcje zdaniowe mają jedynie twierdzące zdania pojedyncze jako instancję zastępczą. Ale nie wszystkie zdania są twierdzące. Zaprzeczenie afirmatywnej liczby pojedynczej "Sokrates jest śmiertelne" jest negatywną pojedynczą propozycją: "Sokrates nie jest śmiertelny".

W symbolach mamy Ms i -Ms. Pierwsza to instancja zastępująca funkcję zdaniową Mx. Drugi może być uważany za substytut funkcji zdaniowej Mx. Tutaj poszerzamy naszą koncepcję funkcji zdaniowych poza proste predykaty wprowadzone w poprzednim rozdziale, aby umożliwić im zawarcie symbolu negacji. Tak więc ogólna propozycja

Nic nie jest doskonałe.

można sparafrazować jako

Wszystko jest niedoskonałe.

lub jak

Biorąc pod uwagę każdą indywidualną rzecz, nie jest ona doskonała.

które można przepisać jako

Biorąc pod uwagę dowolny x, x nie jest idealny.

Teraz symbolizując atrybut bycia doskonałym literą P i używając już wprowadzonej notacji, mamy

(x) ~ Px

Teraz można zilustrować dalsze powiązanie między kwantyfikacją uniwersalną a egzystencjalną. Ogólna (ogólna) propozycja "Wszystko jest śmiertelne" jest odrzucana przez (egzystencjalną) ogólną propozycję "Coś nie jest śmiertelnikiem". Są one symbolizowane odpowiednio jako (x) Mx i (ᴲx) ~ Mx. Ponieważ jedno jest zaprzeczeniem drugiego, dwuwarstwowe

[~ (x) Mx] ≡ [(ᴲx) ~ Mx] i

[(x) Mx] ≡ [~ (ᴲ3x) ~ Mx]

są logicznie prawdziwe. Podobnie (ogólna) ogólna propozycja "Nic nie jest śmiertelnikiem" jest odrzucana przez (egzystencjalną) ogólną propozycję "Coś jest śmiertelnikiem". Są one symbolizowane odpowiednio jako (x) Mx i (ᴲx) Mx. Ponieważ jedno jest zaprzeczeniem drugiego, kolejne dwuwarstwowe

[(x) ~ Mx] ≡ [(ᴲx) ~ Mx] i

[(x) ~ Mx] ≡ [(ᴲx) ~ Mx] są również logiczne.

Jeśli użyjemy greckiej litery phi do reprezentowania dowolnego prostego orzecznika, relacje między kwantyfikacją uniwersalną a egzystencjalną można określić w następujący sposób:

[(x) ɸ x] ≡ [(ᴲx) ~ ɸ x]

[(ᴲx) ɸ x] ≡ [~ (x) ~ ɸ x]

[(x) ~ ɸ x] ≡ [~ (ᴲx) ɸ x]

[ᴲx) ~ ɸ) x] ≡ [(x) ɸ x]

Bardziej graficznie, ogólne związki między kwantyfikacją uniwersalną a egzystencjalną można opisać za pomocą kwadratu pokazanego poniżej.

Kontynuując zakładanie istnienia co najmniej jednej osoby, możemy powiedzieć, odnosząc się do tego kwadratu, że

1. Dwie najlepsze zdania są sprzeczne; to znaczy, obie mogą być fałszywe, ale nie mogą być obie prawdziwe.

2. Dwie dolne zdania są podrzędnymi, to znaczy obie mogą być prawdziwe, ale nie mogą być obie fałszywe.

3. Zdania na przeciwległych końcach przekątnych są sprzecznościami, z których jedna musi być prawdziwa, a druga fałszywa.

4. Po każdej stronie kwadratu prawda niższej propozycji jest implikowana przez prawdę twierdzenia bezpośrednio nad nią.