3 Ważne narzędzia badań operacyjnych
Ten artykuł rzuca światło na trzy ważne narzędzia badań operacyjnych. Narzędzia to: 1. Programowanie liniowe 2. Problemy z transportem 3. Problem przypisania.
Operation Research: Tool # 1. Programowanie liniowe:
Programowanie liniowe jest techniką matematyczną, która ma zastosowanie do niemal wszystkich klas problemów decyzyjnych. Technikę tę stosuje się do wyboru najlepszej alternatywy spośród zestawu wykonalnych alternatyw.
W LPP funkcja celu, jak również ograniczenia mogą być wyrażone jako liniowa funkcja matematyczna, którą można wykorzystać do rozwiązania praktycznych problemów związanych z szeregowaniem. Jest to metoda używana do badania zachowania systemów.
LP zajmuje się głównie opisaniem wzajemnych powiązań komponentów systemu. Ta technika ma pomóc menedżerom w planowaniu, podejmowaniu decyzji i przydzielaniu zasobów. Kierownictwo zawsze ma tendencję do najbardziej efektywnego wykorzystania zasobów organizacji. Zasoby obejmują maszyny, surowce, robociznę, magazyn, czas i pieniądze.
Zasoby te mogą być wykorzystywane do wytwarzania produktów różnych typów mogą być maszynami, częściami / komponentami, meblami i produktami spożywczymi itp. Podobnie zasoby mogą być wykorzystywane do świadczenia usług, takich jak harmonogram wysyłki, zasady reklamowe i decyzje inwestycyjne.
Wszystkie organizacje muszą podjąć decyzję o przyznaniu ograniczonych zasobów. Zatem kierownictwo jest zobowiązane do ciągłego przydzielania ograniczonych zasobów w celu osiągnięcia celów / celów / celów organizacji.
Przymiotnik liniowy został użyty do opisania zależności między dwiema lub więcej zmiennymi. Programowanie dotyczy użycia pewnych równań matematycznych wykorzystywanych do uzyskania najlepszego możliwego rozwiązania problemu związanego z ograniczonymi / rzadkimi zasobami.
Tak więc programowanie liniowe jest wykorzystywane do rozwiązywania problemów optymalizacyjnych, które spełniają następujące warunki:
(i) Funkcja celu, która ma zostać zoptymalizowana, powinna być dobrze zdefiniowana i wyrażona jako liniowa funkcja zmiennych.
(ii) Ograniczenia, jeśli istnieją, dotyczące osiągnięcia tych celów, wyrażane są również jako jakości liniowe / nierówności zmiennej.
(iii) Dostępny jest również alternatywny sposób postępowania.
(iv) Zmienne decyzyjne są wzajemnie powiązane i nieujemne.
(v) Zasoby są ograniczone.
Zastosowanie programowania liniowego do problemów przemysłowych:
(i) Opracowanie harmonogramów dla przemysłu spożywczego i dla rafinerii ropy naftowej itp.
(ii) W przemyśle obróbki metali jest on używany do ładowania sklepów i do określania wyboru między kupowaniem a produkcją różnych części.
(iii) Jest używany do oceny różnych rud żelaza w przemyśle hutniczym i stalowym.
(iv) Stosuje się go w celu zmniejszenia strat związanych z przycinaniem w papierniach.
(v) Jest wykorzystywany do znalezienia optymalnego routingu komunikatów w sieci komunikacyjnej.
Definicja programowania liniowego:
Programowanie liniowe to matematyczne narzędzie / technika określania najlepszych sposobów wykorzystania zasobów organizacji. Programowanie liniowe ma pomóc menedżerom w planowaniu i podejmowaniu decyzji. Jako narzędzie podejmowania decyzji wykazało swoją wartość w różnych obszarach, takich jak produkcja; finanse marketingowe, badania i zadania personalne.
Określenie optymalnego asortymentu produktów, harmonogramów transportu wybór maszyn do selekcji maszyn; lokalizacja zakładu i alokacja siły roboczej itp. to kilka rodzajów problemów, które można rozwiązać za pomocą programowania liniowego.
"Analiza problemów, w których funkcja liniowa wielu zmiennych ma być zmaksymalizowana (lub zminimalizowana), gdy zmienne te podlegają licznym ograniczeniom w postaci liniowych równości." Samuelson i Slow
Według Loomby: "Programowanie liniowe jest tylko jednym aspektem tego, co zostało nazwane systemowym podejściem do zarządzania, w którym we wszystkich programach projektuje się i ocenia pod względem ich ostatecznego wpływu na realizację celów biznesowych".
Problemy z programowaniem liniowym - metoda graficzna:
Etapy metody graficznej można podsumować w następujący sposób:
1. Sformułuj problem programowania liniowego.
2. Narysuj podane linie ograniczające, traktując je jako równania.
3. Z powyższego wykresu należy zidentyfikować realny region rozwiązania.
4. Znajdź punkty początkowe możliwego regionu rozwiązania.
5. Oblicz wartość funkcji celu w punktach końcowych.
6. Teraz wybierz punkt, w którym funkcja celu ma optymalną wartość.
Liniowe problemy programistyczne - rozwiązanie matematyczne:
Chociaż graficzna metoda rozwiązywania LPP stanowi cenną pomoc w zrozumieniu jej podstawowej struktury. Metoda ta ma ograniczoną użyteczność w problemach przemysłowych, ponieważ liczba występujących w niej zmiennych jest bardzo duża, więc innym rozwiązaniem matematycznym nazywanym metodą simpleks jest odpowiednie rozwiązanie LPP z dużą liczbą zmiennych.
Jest to procedura iteracyjna, która rozwiązuje LPP w skończonej liczbie kroków lub daje wskazówkę, że istnieje nieograniczone rozwiązanie metody L.PR Simplex jest algebraiczną procedurą rozwiązywania problemów programowania liniowego lub składa się z serii powtarzających się kroków do osiągnąć optymalne rozwiązanie.
Jest to najpowszechniejszy i najczęściej stosowany algorytm programowania. Teoretycznie ta procedura może rozwiązać każdy problem składający się z dowolnej liczby zmiennych i ograniczeń. Jeśli problem składa się z więcej niż trzech zmiennych i trzech ograniczeń, wymagane jest użycie komputera. Rys. 31.9 pokazuje schematyczną reprezentację algorytmu simplex.
Różne kroki w procedurze Simplex:
Kroki tej procedury są wymienione poniżej:
1. Sformułuj problem, określając funkcję celu i ograniczenia.
2. Przekształć nierówności w równości, aby uzyskać standardową formę, wprowadzając nadwyżkę luzu i sztuczne zmienne w funkcji celu.
3. Przygotuj początkową tabelę simpleks.
4. Oblicz wartość zj (strata netto na jednostkę) i c j - z j (wartość wkładu netto) dla tego rozwiązania.
5. Określ wprowadzaną zmienną (kolumna klucza), wybierając kolumnę z najbardziej ujemną
(z j - c j ).
6. Ustal zmienną wyjściową (wiersz klucza), obliczając kolumnę stosunku z reguły 5 i wybierając najmniejszą wartość nie ujemną.
7. Oblicz wiersz zastępujący ulepszonego stołu simpleksowego według reguły 6.
8. Oblicz pozostałe wiersze nowej tabeli według reguły 7.
9. Oblicz wartości c j i z j dla tego rozwiązania.
10. Jeśli wartość nieujemna (c j - z j ) powraca do kroku 5.
11. Jeśli nie ma wartości nieujemnych (c j - zj ), to uzyskano optymalne rozwiązanie.
Przykład 1:
Rolnik ma 1000 akrów ziemi, na której może grawerować kukurydzę, pszenicę lub soję, Każdy akr kukurydzy kosztuje Rs. 100 do przygotowania, wymaga 7 dni roboczych i daje zysk Rs. 30 akrów pszenicy kosztuje Rs. 120 do przygotowania, wymagają 10 dni roboczych i dają zysk Rs. 40.
Kwinta sojowego kosztu Rs70 do przygotowania wymaga 8 dni roboczych i daje zysk Rs. 20 Jeśli rolnik ma Rs. 100 000 za przygotowanie i licz na 8000 roboczodni dni pracy. Ile akrów należy przypisać do każdej uprawy w celu maksymalizacji zysków? (Gujarat MBA, 1989)
Rozwiązanie:
Niech x akr ziemi zostanie przeznaczony na kukurydzę
y akr gruntu przeznaczono na pszenicę
z akr gruntu przeznaczono na soję
Ponieważ każdy akr ziemi dla kukurydzy daje zysk Rs. 30, dla zbiorów pszenicy Rs. 40 i dla sojowej Rs. 20. Matematyczne sformułowanie LLP jest
Max Z = 30x + 40y + 20z + 0S 1, + OS 2, + 0S 3
Z zastrzeżeniem
100 x + 120y + 70z ≤ 100000
7x + 10y + 8z ≤ 8000
x + y + z ≤ 1000
x, y, z ≥ 0
Przekształćmy nierówności w równania, wprowadzając zmienne luźne S 1, S 2 i S 3 . Funkcja celu i ograniczenie mogą być zapisane jako
W kolumnie zmiennych podstawowych wektory są dla zmiennej S 1, (1, 0, 0), S 2, (1, 0, 1) i S 3 (0, 0, 1) początkowe wykonalne rozwiązanie jest podane przez zmienne S 1, S 2 i S 3 obie zyski ogółem = 0
Teraz Z j i C j - Z j, są obliczane zgodnie z regułą 1, 2 i 3. Kluczową kolumnę określa się za pomocą zaznaczonej kolumny początkowej, a tabelę Simplex przygotowuje się w następujący sposób.
Tabela II nie zapewnia optymalnego rozwiązania. Kontynuujemy przygotowania prostej tabeli III i ulepszamy rozwiązanie w następujący sposób:
Problem minimalizacji metodą Big M. Metoda:
W przemyśle może być miejsce, gdzie celem może być minimalizacja kosztów produkcji lub czasu produkcji, tj. Funkcja celu ma być zminimalizowana, w takich przypadkach możemy postępować w taki sam sposób, jak problem maksymalizacji, po prostu mnożąc przez obie strony funkcji celu-1 W takich sytuacjach minimalizacja Z będzie maksymalizacją (-Z).
W takich przypadkach, ponieważ zmienne nadwyżkowe przyjmują wartość ujemną, która narusza ograniczenie nie-negatywne, aby przezwyciężyć tę trudność, wprowadzamy nową zmienną stylizowaną na zmienne sztuczne.
Teraz przypisujemy 3000 współczynników do zmiennych nadwyżkowych i + M do zmiennych sztucznych. Aby źródło, że sztuczne zmienne nie są podstawowymi zmiennymi w optymalnym rozwiązaniu, przypisujemy im bardzo wysokie koszty, stąd M jest zdefiniowane jako bardzo duża liczba, tj. Big M lub kary.
Ta metoda została zilustrowana za pomocą następujących czynności:
Przykład 2:
Operation Research: Tool # 2. Problemy z transportem:
Problemy transportowe są jednym z rodzajów LPP, w których celem jest transport towarów / produktów w różnych ilościach jednego jednorodnego produktu / towaru do różnych miejsc przeznaczenia, tak aby zminimalizować całkowite koszty transportu w życiu codziennym różnych organizacji produkcyjnych lub innych zakładów należnych do różnych rozważań przechowuje swoje produkty końcowe lub przedmioty w różnych miejscach, określane jako pochodzenie lub towar, dom, kiedy dostawa ma być dostarczana do użytkowników, następnie przedmioty są transportowane od źródła do jednego lub więcej miejsc docelowych, ogólnym celem tego procesu jest decyzja o polityce dystrybucji takie, że całkowity koszt transportu jest minimalny lub czas przeładunku jest minimalny.
Po tym, jak natywnie gotowe produkty z zakładu mają być transportowane do magazynów w sposób najbardziej ekonomiczny w problemach transportowych, można zaobserwować różne cechy programowania liniowego, dostępność i wymagania różnych ośrodków są ograniczone i stanowią ograniczone problemy z transportem zasobów w szczególnych przypadkach metody simplex.
Zastosowanie w zaworach do transportu produktów z różnych źródeł do różnych punktów docelowych, takich jak:
(i) Przewożone jednostki transportowe. Celem jest zminimalizowanie kosztów transportu.
(ii) Maksymalizuj zysk w transporcie jednostek do miejsca przeznaczenia.
Główne kroki to :
Krok 1:
Sformułuj problem i skonfiguruj go w postaci macierzy transportowej.
Krok 2:
Uzyskaj podstawowe możliwe rozwiązanie.
Krok 3:
Testuj optymalność rozwiązania.
Krok 4:
Zaktualizuj rozwiązanie dzięki udoskonaleniom, dopóki nie będzie możliwe dalsze obniżenie kosztów transportu.
Powszechnie stosowane metody to:
1. Metoda narożników północno-zachodnich.
2. Metoda najmniejszych kosztów.
3. Metoda aproksymacji Vogla.
Kroki zaangażowane w północno-zachodnim zaułku Metoda:
Krok 1:
Obciąć pustą maksymalną macierz uzupełnioną wierszami i kolumnami.
Krok 2:
Wskaż sumy wierszy i sumy kolumn na końcu.
Krok 3:
Zaczynając od (11) komórki na północno-zachodnim krańcu macierzy, przydziel maksymalną możliwą ilość / liczbę, uważając, że przydział nie może być większy niż ilość wymagana przez odpowiednie domy towarowe, ani większa niż ilość dostępna w centrach zaopatrzenia.
Krok 4:
Po dostosowaniu numerów podaży i popytu w przydziałach poszczególnych rzędów i kolumn, przejdź do pierwszej komórki wiersza i powtórz krok 3.
Krok 5:
Po spełnieniu wymagań pierwszej kolumny, a następnie przejdź do następnej komórki w drugiej kolumnie i pierwszym wierszu i przejdź do kroku 3.
Krok 6:
Jeśli dla dowolnego zasobu komórki jest równe zapotrzebowanie, kolejna alokacja może być trybem w komórkach w następnych wierszach i kolumnach.
Krok 7:
Kontynuuj proces, aż całkowita dostępna ilość zostanie w pełni przydzielona do komórek zgodnie z wymaganiami
Przykład 3:
Rozwiąż następujący problem przez NWCM, aby obliczyć minimalny koszt transportu:
Kroki w metodzie najmniejszego kosztu wejścia:
Ta metoda bierze pod uwagę najniższy koszt i dlatego zajmuje mniej czasu, aby rozwiązać problem, różne kroki są następujące:
Krok 1:
Wybierz komórkę o najniższym koszcie transportu spośród wszystkich wierszy i kolumn w macierzy. Przydziel jak najwięcej, aby wyeliminować albo ten wiersz, albo kolumnę, która albo wyczerpuje źródło, albo wypełni wymaganie. Jeśli oba są satysfakcjonujące, wyeliminuj jeden z nich. Jeśli najmniejsza komórka kosztowa nie jest unikalna, wybierz dowolną komórkę o najniższym koszcie.
Krok 2:
Powtórz procedurę dla wszystkich nieprzesortowanych wierszy i kolumn z następną najmniejszą komórką kosztu. Krok 3: Powtórz procedurę, dopóki wszystkie źródła nie zostaną wyczerpane lub żądanie pełnego przeznaczenia zostanie wypełnione.
Przykład 4:
Rozwiąż następujący problem metodą najmniejszych kosztów:
Metoda aproksymacji Vogla:
Ta metoda jest metodą kary lub żalu i jest preferowana w porównaniu z pozostałymi dwiema metodami, przy czym początkowy podstawowy wykonalny roztwór jest albo optymalny, albo bardzo bliski optymalnemu rozwiązaniu, przez co zmniejsza się czas potrzebny do obliczenia optymalnego rozwiązania.
W metodzie tej podstawą alokacji jest kara jednostkowa, tj. Ten wiersz lub kolumna, która wskazuje najwyższą karę kosztu jednostkowego / różnicę między najniższym a kolejnym najwyższym kosztem wybiera się najpierw w celu alokacji. W ten sposób dokonywane są kolejne alokacje w innych komórkach mając na względzie najwyższą karę kosztu jednostkowego.
Przydział jest dokonywany w celu zminimalizowania kosztu kary. Różne etapy są następujące:
Krok 1:
Oblicz karę dla każdego wiersza i kolumny, wykonując jedynie różnicę między najmniejszym a następnym najmniejszym kosztem transportu w tym samym wierszu i kolumnie, tj. Różnica wskazuje na karę do zapłacenia, jeśli alokacja nie jest dokonywana do minimalnego kosztu kryterium.
Krok 2:
Wybierz wiersz lub kolumnę z największą karą i przydzielić jak najwięcej komórce o najniższym koszcie. W przypadku remisu najpierw wybiera się komórkę o maksymalnej możliwej alokacji
Krok 3:
Przekreślić wiersz lub kolumnę po spełnieniu żądania lub wyczerpaniu zapasów do pozostałych wierszy lub kolumn przypisuje się zerową podaż lub popyt. Dowolny wiersz lub kolumna z zerową podażą lub popytem nie są używane do dalszych obliczeń.
Kroki 4:
Powtarzaj kroki 1 i 3 do momentu wyczerpania wszystkich źródeł lub spełnienia wszystkich wymagań.
Przykład 5:
Producent chce wysłać 8 ładunków swojego produktu z centrów produkcyjnych X, Y i Z do centrów dystrybucyjnych A, B i C, przebieg od miejsca pochodzenia 0 do miejsca przeznaczenia D jest następującą macierzą.
Przykład 6:
Znajdź optymalne rozwiązanie następującego problemu z transportem, uzyskując wstępne rozwiązanie z metodą aproksymacji vogetów:
Rozwiązanie:
Zastosujmy metodę aproksymacji vogla. Problemy zrównoważone jako podaż = Żądaj = 50 jednostek. Zastosujmy metodę vogla, jak podano w tabeli poniżej.
Koszt transportu = 2 x 15 + 9 x 15 + 20 x 10 + 4 x 5 + 18 x 5 x 475 sztuk.
Sprawdź optymalnie:
Test optymalności można wykonać, jeśli spełnione są dwa warunki, tj
1. Istnieje przydział m + n-1, którego m to liczba wierszy, n to liczba kolumn. Tutaj m + n - = 6. Ale liczba przydziału wynosi pięć.
2. Te przydziały m + n-1 powinny być na niezależnych pozycjach, tj. Nie powinno być możliwości zwiększenia lub zmniejszenia alokacji bez zmiany pozycji alokacji lub naruszenia ograniczeń dotyczących wierszy lub kolumn.
Prostą zasadą przydziałów na niezależne pozycje jest to, że niemożliwe jest podróżowanie z dowolnej alokacji, z powrotem do siebie szeregiem poziomych i pionowych kroków z jednej zajętej komórki do drugiej, bez bezpośredniego odwrócenia trasy. Można zauważyć, że w niniejszym przykładzie alokacja odbywa się w niezależnych pozycjach, ponieważ nie można utworzyć zamkniętej pętli w przydzielonych komórkach.
Dlatego też pierwszy warunek nie jest spełniony, dlatego aby spełnić pierwszy warunek, będziemy musieli przeznaczyć niewielką ilość E na wolne komórki o najniższych kosztach transportu. Można zauważyć, że t może być przydzielone w komórce (2, 2) z kosztem 7 jednostek, a mimo to alokacje pozostaną w niezależnej pozycji, jak opisano poniżej w Tabeli 2.
Teraz liczba przydziałów wynosi m + n - 6 = 6 i są one w niezależnych pozycjach. Zapisz macierz kosztu w przydzielonych komórkach. (Tabela 3)
Macierz początkowej kosztów dla przydzielonych komórek. Napisz również wartości u i v j .
Z tabeli 5 można wywnioskować, że ocena komórki w komórce (1, 4) jest ujemna, tj. -4, a zatem dzięki alokacji do komórki (1, 4) koszty transportu jeszcze bardziej zmniejszają się.
Zapiszmy pierwotne alokacje i proponowaną nową alokację.
Widać z tablicy 6, że jeśli przydzielimy komórkę (1, 4), powstaje pętla, jak pokazano, i przydzielamy 10 jednostek, aby przydział w komórce (2, 4) znikał, jak pokazano poniżej w Tabeli 7. Nowe Tabela alokacji stanie się
Koszt transportu = 5X 2 + 10X 1 1 + 10X 7 + 15X 9 + 5X 4 + 18 + 5 = 435 jednostek.
Koszt transportu spadł z 475 do 435 jednostek.
Sprawdź optymalnie:
Zobaczmy, czy to rozwiązanie jest optymalne, czy nie? W tym celu należy ponownie sprawdzić dwa warunki, tj
Liczba przydziałów = m + n- 1 = 6 (spełnione)
Przyporządkowanie w niezależnej pozycji (spełnione, ponieważ zamknięta pętla dla przydzielonych komórek nie jest utworzona) Zapisać koszt przy przydzielonych allach i wartościach u i v j .
Operation Research: Tool # 3. Assignment Problem:
Problem przydziału jest szczególnym rodzajem problemu programowania liniowego, który zajmuje się przydzielaniem różnych zasobów do różnych działań na zasadzie jeden do jednego.
Robi to w taki sposób, że koszt lub czas związany z procesem jest minimalny, a zysk lub sprzedaż jest maksymalna. Chociaż problem można rozwiązać za pomocą metody simpleks lub metody transportowej, ale model przypisania daje prostsze podejście do tych problemów.
W fabryce osoba nadzorująca może mieć sześciu pracowników i sześć zadań do wykonania. Będzie musiał podjąć decyzję dotyczącą tego, które zadanie należy przyznać pracownikowi. Problem stanowi jeden do jednego. To jest problem z przydziałem.
Model przypisania:
Załóżmy, że istnieje n facilitates i n zadań. Oczywiste jest, że w tym przypadku będzie n zadań. Każdy obiekt lub pracownik może wykonywać każde zadanie, po jednym na raz. Ale powinna istnieć pewna procedura, zgodnie z którą należy dokonać cesji, aby zysk był zmaksymalizowany, a koszt lub czas został zminimalizowany.
W tabeli Co ij jest definiowane jako koszt, gdy j. Praca jest przypisana do pracownika. Można zauważyć, że jest to szczególny przypadek problemu z transportem, gdy liczba rzędów jest równa liczbie kolumn.
Formuła matematyczna:
Każde podstawowe możliwe rozwiązanie problemu przypisania (2n - 1), w którym zmienne (n - 1) są zerowe; n to liczba miejsc pracy lub liczba obiektów.
Z powodu tej wysokiej degeneracji, jeśli rozwiążemy problem za pomocą zwykłej metody transportu, będzie to praca złożona i czasochłonna. W ten sposób powstaje dla niej oddzielna technika. Przed przejściem do metody absolutnej bardzo ważne jest sformułowanie problemu.
Załóżmy, że X ij jest zmienną zdefiniowaną jako
Metoda rozwiązania problemu (technika węgierska):
Rozważ obiektywną funkcję typu minimalizacji.
W rozwiązywaniu tego problemu przypisania są zaangażowane następujące kroki:
1. Znajdź "najmniejszy element kosztu w każdym wierszu tabeli kosztów, zaczynając od pierwszego wiersza. Teraz ten najmniejszy element jest odejmowany od każdego elementu tego rzędu. Tak więc, otrzymamy co najmniej jedno zero w każdym wierszu tej nowej tabeli.
2. Po skonstruowaniu tabeli (jak po kroku 1) przyjmuje się kolumny tabeli. Począwszy od pierwszej kolumny znajdź element najmniejszego kosztu w każdej kolumnie. Teraz odejmij ten najmniejszy element z każdego elementu tej kolumny. Po wykonaniu kroku 1 i kroku 2 otrzymamy co najmniej jedno zero w każdej kolumnie w tabeli kosztów zredukowanych.
3. Teraz zadania są wykonane dla zredukowanej tabeli w następujący sposób:
(i) Wiersze są badane sukcesywnie, aż do znalezienia wiersza z dokładnie jednym (jednym) zerem. Przypisanie do tego pojedynczego zera polega na umieszczeniu kwadratu □ wokół niego, a w odpowiedniej kolumnie wszystkie pozostałe zera są przekreślone (x), ponieważ nie zostaną użyte do wykonania innego przypisania w tej kolumnie. Krok jest przeprowadzany dla każdego rzędu.
(ii) Etap 3 (i) teraz wykonywany na kolumnach w następujący sposób: Kolumny są badane sukcesywnie aż do znalezienia kolumny z dokładnie jednym zerem. Teraz przypisanie do tego pojedynczego zera polega na umieszczeniu kwadratu wokół niego i jednocześnie wszystkie pozostałe zera w odpowiednich wierszach są przekreślone (x) krok jest przeprowadzany dla każdej kolumny.
(iii) Krok 3 (i) i 3 (ii) powtarza się, dopóki wszystkie zera nie zostaną oznaczone lub przekreślone. Teraz, jeśli liczba oznaczonych zer lub przypisanych wartości jest równa liczbie wierszy lub kolumn, uzyskano optymalne rozwiązanie. Będzie dokładnie jedno zadanie w każdej z kolumn lub bez żadnych przydziałów. W takim przypadku przejdziemy do kroku 4.
4. Na tym etapie narysuj minimalną liczbę linii (poziomą i pionową) konieczną do pokrycia wszystkich zer w macierzy uzyskanej w kroku 3.
Następująca procedura jest przyjęta:
(i) Zaznaczyć (V) wszystkie wiersze, które nie mają żadnego przydziału.
(ii) Teraz zaznacz znak (V) wszystkie te kolumny, które mają zero w zaznaczonych rzędach.
(iii) Teraz zaznaczyć oznacza wszystkie wiersze, które nie są jeszcze oznaczone i które mają przypisanie w zaznaczonych kolumnach.
(iv) Wszystkie kroki, tj. 4 (1), 4 (2), 4 (3) są powtarzane, dopóki nie można oznaczyć więcej wierszy lub kolumn,
(v) Teraz narysuj proste linie, które przebiegają przez wszystkie nieoznakowane wiersze i zaznaczone kolumny. Można również zauważyć, że w macierzy nxn, zawsze mniej niż "n" wierszy obejmie wszystkie zera, jeśli nie znajdzie się wśród nich żadnego rozwiązania.
5. W kroku 4, jeśli liczba narysowanych linii jest równa n lub liczba rzędów, wówczas jest to optymalne rozwiązanie, jeśli nie, a następnie przejdź do kroku 6.
6. Wybierz najmniejszy element spośród wszystkich odkrytych elementów. Teraz ten element jest odejmowany od wszystkich niepokrytych elementów i dodawany do elementu, który leży na przecięciu dwóch linii. Jest to matryca dla świeżych zadań.
7. Powtórz procedurę od kroku (3), aż liczba przypisań stanie się równa liczbie wierszy lub liczby kolumn.
