Agregacja indywidualnego popytu
Ekonomiczna teoria zachowań konsumenckich, opisana w poprzednim rozdziale, pozwala sformułować indywidualną funkcję popytu, ale dane rynkowe, nie przedstawiają wyniku zachowania pojedynczej osoby. Pokazują wynik całego zachowania społeczności. Musimy uzasadnić zastosowanie pojęcia zagregowanej funkcji popytu dla poszczególnych towarów w celu identyfikacji naszych oszacowań statystycznych za pomocą teoretycznych krzywych popytu.
Drugi problem agregacji powstaje w doborze towarów, dla których należy oszacować funkcje popytu. Zapotrzebowanie na cukier lub inne indywidualne produkty pierwotne, badania w najwcześniejszych pracach nad statystyczną analizą popytu, wiązało się z kilkoma problemami agregacji. Jednak zapotrzebowanie na żywność, samochody, wszystkie dobra trwałego i inne duże grupy heterogeniczne w budżecie konsumenta powoduje poważne problemy z numeracją indeksów.
W przypadku ogólnych form funkcji popytu, dwa precyzyjne wyniki o bardzo ograniczonym charakterze są znane w teorii zachowań konsumenckich. Po pierwsze, jeśli dochody grupy osób zmieniają się w tej samej proporcji, a każdy z członków grupy ma taką samą elastyczność, wówczas ta wspólna indywidualna elastyczność dochodów jest szacowana na podstawie elastyczności rynku.
Po drugie, różne towary, których ceny zmieniają się w tej samej proporcji, mogą być skutecznie traktowane jako jeden towar w odniesieniu do głównych twierdzeń dotyczących teorii zachowania konsumentów. Wiadomo jednak, że zmiana dochodów i zmiana cen są bardzo rozproszone. Propozycje te są bardziej teoretyczne niż praktyczne wyniki dla pracy empirycznej.
W przypadku systemów ściśle liniowych można uzyskać więcej wyników. Załóżmy, że zapotrzebowanie j-tej osoby na j-ty produkt można wyrazić jako
Zakłada się, że ceny są jednolite na rynku dla wszystkich kupujących. Oczekiwane ilości, dochody i zakłócenia są różne dla poszczególnych osób. Przyjmuje się, że parametry są stałe wśród osób. Jeśli te indywidualne funkcje zostaną dodane do wszystkich osób na rynku, które mamy
Jeśli indywidualne funkcje popytu były nieliniowe, powiedzmy paraboliczne w dochodach, tak jak w poprzednim przykładzie, agregacja nie jest tak łatwa. Suma pierwszych sił zmiennej jest pierwszą potęgą sumy. Z tego powodu równania liniowe są łatwo agregowane. Jednak suma drugich uprawnień zmiennej nie jest drugą potęgą sumy; dlatego też agregacja paraboli wiąże się z nowymi problemami. Tożsamość, zaczerpnięta z elementarnych statystyk.
mówi nam, że agregacja paraboli daje rynkowe równanie, od którego zależy popyt na osobę, dodatek do dochodu na osobę, kwadrat dochodu na mieszkańca i średnie kwadratowe odchylenie na temat dochodu na osobę.
Ten ostatni termin jest wariancją rozkładu dochodu. Musimy zatem wziąć pod uwagę dwie cechy rozkładu dochodów, ich średni poziom i rozproszenie. Nowym elementem jest stosunek popytu na rynku.
Problem agregacji towarów w celu uzyskania wyrażeń dla funkcji popytu głównych kategorii popytu jest bardziej skomplikowany. Można go uprościć, jeśli zaczniemy od innego sformułowania ogólnej funkcji popytu liniowego.
Pominiemy tutaj superscript j, ponieważ nie jesteśmy zainteresowani agregowaniem jednostek na tym etapie. Mnożenie obu stron przez pu i dodawanie do podgrupy 1, 2. . . ni daje.
Definiujemy indeks cen wszystkich towarów w podgrupie jako
gdzie
wi = waga I-tego dobra w indeksie cen podgrup.
Podzielenie obu stron zagregowanego równania przez ten indeks cen daje
Termin lewostronny jest interpretowany jako wartość wydatkowana na podgrupę skorygowaną o indeks cen podgrupy. Jest to indeks wielkości podgrupy. Nazwamy to x 1 (1) . Pierwsza część po prawej stronie to proporcja między dwiema ważonymi kombinacjami cen n 1 w podgrupie. W liczniku masy są sumami współczynników w równaniu zapotrzebowania. W mianowniku wagi są W ;. Jako przybliżenie możemy przyjąć ten stosunek jako stały.
Kolejne warunki to następujące po sobie względne ceny, czyli stosunek między każdą ceną poza podgrupą a indeksem podgrupy. Następnie mamy okres dochodowy deflowany przez indeks podgrup. Termin zakłócenia może być interpretowany jako stosunek dwóch średnich ważonych cen w podgrupie. W liczniku średnia ważona ma losowe ciężary i stałe wagi. Nowy kompozyt losowy nazywamy nową zmienną losową
Od tego momentu agregacja nad jednostkami może przebiegać jak wyżej.
Wszystkie te procedury agregacji obejmują silne założenia i przybliżenia. Wynik byłby jeszcze bardziej przybliżony, gdyby założono, że parametry będą się różnić u poszczególnych osób. W tym bardziej skomplikowanym przypadku, jak również w przypadku różnych typów nieliniowości, można uzyskać konkretne wyniki. Od czasu do czasu, w kontekście konkretnych problemów, niektóre z tych ustaleń zostaną przedstawione w opisie do naśladowania.
Łatwo zauważyć, w jaki sposób założenie liniowości upraszcza wyniki agregacji w zachowaniach rynkowych. Jeżeli nieliniowość jest typu stałej elastyczności, model można przekształcić, jak pokazano powyżej, w model liniowy w logarytmach.
Obecne twierdzenia wyrażone w kategoriach średnich (arytmetycznych) wielkości można przełożyć na logarytmy, które z kolei są logarytmami środków geometrycznych. Dane rynkowe w postaci sum arytmetycznych zwykle nie pozwalają na obliczenie średnich geometrycznych.
Ponieważ suma logarytmów nie jest logarytmem sumy, nie możemy dokonać bezpośredniego tłumaczenia na logarytmy sum rynkowych, gdzie poszczególne funkcje są logarytmiczne. W niektórych okolicznościach istnieją na szczęście ustalone związki między środkami arytmetycznymi i geometrycznymi. Zostaną one wyjaśnione poniżej dla konkretnych problemów.
Analiza popytu, w pierwszych aplikacjach statystycznych, została sformułowana w kategoriach sum rynkowych, tak jakby jednostki te były naturalne. Uważamy jednak, że w przypadku starannej korespondencji między tradycyjną teorią, która jest określana w kategoriach indywidualnego popytu na określone towary, a statystycznymi obliczeniami danych rynkowych, należy skonstruować most agregacyjny.
Jeśli uwaga zostanie zwrócona na ten most, wybór różnych numerów indeksów i rola dystrybucji dochodów staną się o wiele jaśniejsze. Ekonometrycz- ny powinien zawsze analizować konsekwencje agregacyjne swoich obliczeń z danymi rynkowymi.
W tej sekcji zauważyliśmy, że funkcje liniowe stwarzają niewiele problemów; zwłaszcza jeśli można założyć, że parametry w funkcjach liniowych są takie same dla wszystkich indywidualnych, funkcje nieliniowe zwykle przynoszą fenomeny rozkładów dochodu do zagregowanych funkcji popytu.
