Programowanie liniowe: aplikacje, definicje i problemy
Programowanie liniowe: aplikacje, definicje i problemy!
(i) Opracowanie harmonogramów dla przemysłu spożywczego i dla rafinerii ropy naftowej itp.
(ii) W przemyśle obróbki metali jest on używany do ładowania sklepów i do określania wyboru między kupowaniem a produkcją różnych części.
(iii) Jest używany do oceny różnych rud żelaza w przemyśle hutniczym i stalowym.
(iv) Stosuje się go w celu zmniejszenia strat związanych z przycinaniem w papierniach.
(v) Jest wykorzystywany do znalezienia optymalnego przebiegu masaży w sieci komunikacyjnej.
Definicja programowania liniowego:
Programowanie liniowe to matematyczne narzędzie / technika określania najlepszych sposobów wykorzystania zasobów organizacji. Programowanie liniowe ma pomóc menedżerom w planowaniu i podejmowaniu decyzji. Jako narzędzie podejmowania decyzji wykazało swoją wartość w różnych obszarach, takich jak produkcja, finanse marketingowe, badania i zadania personalne.
Określenie optymalnego asortymentu produktów, harmonogramów transportu wybór maszyn do selekcji maszyn; lokalizacja zakładu i alokacja siły roboczej itp. to kilka rodzajów problemów, które można rozwiązać za pomocą programowania liniowego.
"Analiza problemów, w których funkcja liniowa wielu zmiennych ma być zmaksymalizowana (lub zminimalizowana), gdy zmienne te podlegają liczebności lub ograniczeniom w postaci liniowych równości", Samuelson i Slow.
Według Loomby: "Programowanie liniowe jest tylko jednym aspektem tego, co zostało nazwane systemowym podejściem do zarządzania, w którym we wszystkich programach projektuje się i ocenia pod względem ich ostatecznego wpływu na realizację celów biznesowych".
Problemy z programowaniem liniowym - metoda graficzna:
Etapy metody graficznej można podsumować w następujący sposób;
1. Sformułuj problem programowania liniowego
2. Narysuj podane linie ograniczające, traktując je jako równania
3: Z powyższego wykresu określ możliwy region rozwiązania
4. Zlokalizuj punkt narożny możliwego obszaru rozwiązania.
5. Oblicz wartość funkcji celu w punktach narożnych.
6. Teraz wybierz punkt, w którym funkcja celu ma optymalną wartość.
Przykład 1:
Po ukończeniu budowy pan Gopalan stwierdził, że 100 stóp kwadratowych sklejki i 80 stóp kwadratowych białego złomu sosny jest w użytecznej formie, która może być wykorzystana do budowy stołów i okładek książek. Zajmuje 16 stóp kwadratowych sklejki i 8 stóp kwadratowych, stopy sosny białej, aby stół, 12 stóp kwadratowych sklejki i 16 stóp kwadratowych z białej sosny są potrzebne do skonstruowania książki przypadku. Sprzedając gotowe produkty lokalnemu sprzedawcy, może osiągnąć zysk Rs. 25 na każdym stole i Rs. 20 na każdym przypadku książki. Jak najkorzystniej wykorzystać lewe drewno. Zastosuj metodę graficzną do rozwiązania LLP
Rozwiązanie:
Załóżmy, że X 2 to nie tabele, a X 2 to nie przypadki książek
Teraz, aby tymczasowo wykreślić ograniczenie na wykresie, zmienimy nierówności na równanie w następujący sposób:
Każda kombinacja wartości x 1 i x 2, która spełnia takie ograniczenia, nazywana jest wykonalnym rozwiązaniem. Obszar OABC na Rys. 15.1 spełniony przez ograniczenie jest pokazany przez zacieniony obszar i jest znany jako realny region rozwiązania.
Max Z = 160
x 1 = 4
x 2 = 3 Ans.
Przykład 2:
Przedsiębiorstwo produkujące meble produkuje krzesła i stoły. Poniższe dane pokazują zużycie zasobów i zysk jednostkowy. Dalej zakłada się, że drewno i praca to dwa zasoby zużywane w produkcji mebli. Właściciel firmy chce ustalić liczbę krzeseł i stołów, aby zmaksymalizować całkowite zyski.
Rozwiązanie:
Niech x, będzie liczbą tablic x2, być nr. krzeseł tak.
Teraz, aby tymczasowo wykreślić ograniczenia na wykresie, przekształcimy nierówności w równania:
Podobnie w równaniu
Dowolna kombinacja wartości x spełniająca dane ograniczenie jest znana jako rozwiązanie możliwe do zrealizowania. Obszar OABC 'm Ryc. 15.2 spełniony przez ograniczenia jest pokazany przez zacieniony obszar i jest znany jako realny region roztworu. Współrzędna punktu na rogu regionu może zostać uzyskana przez rozwiązanie dwóch równań linii przecinających się w punkcie B
Stąd Z = 96
x 1 = 4
x 2 = 9 Ans.
Przykład 3:
Firma produkuje dwa rodzaje długopisów, powiedzmy A i B. Pióro A to najwyższa jakość, a 6 to gorsza jakość. Zysk na kojcach A i B to Rs. 5 i Rs.3 na penta odpowiednio. Surowiec wymagany dla każdego z piór A jest dwa razy taki sam jak dla pisaka B.
Dostarczanie surowców wystarcza tylko na 1000 pensów typu B dziennie. Pióro A wymaga specjalnego klipu i tylko 400 takich klipów jest dostępnych dziennie. W przypadku pióra B dostępnych jest tylko 700 klipów dziennie. Znajdź graficznie asortyment produktów, aby firma mogła osiągnąć maksymalny zysk.
(Uniwersytet Delhi MBA, kwiecień 1988)
Rozwiązanie:
Niech x 1 = liczba piór typu A.
x 2 = Liczba długopisów typu B.
Matematyczne sformułowanie problemów jest
Przekształcając nierówności powyższych ograniczeń na równości, aby uzyskać wykres, który otrzymujemy
Wykreślając powyższe linie na wykresie mamy x 1 x 2 spełnia wszystkie trzy ograniczenia jako x 1 ≥ 0 i x 2 ≥ 0, dlatego powyższy rys. 15.3 stanowi ODABE jako możliwy obszar.
Różne punkty są oceniane jako pod.
Z powyższej tabeli wynika, że maksymalna wartość to Rs. 2850 w punkcie B
Więc x 1 = 150, x 2 = 700 i Z = 2850
Przykład 4:
GJ Breveries Ltd. Posiadające dwie rozlewnie, jedną znajdującą się w G i drugą w J. Każda roślina produkuje trzy napoje - whisky, piwo i brandy o nazwach odpowiednio A, B i C. Liczba wyprodukowanych butelek dziennie jest następująca.
Rynek wskazał, że w lipcu pojawi się zapotrzebowanie na 20000 butelek butelek whisky, 40000 butelek piwa i 44000 butelek brandy. Koszty operacyjne na dzień dla roślin G i J wynoszą 600 i 400 jednostek monetarnych. Przez ile dni każda instalacja będzie eksploatowana w lipcu, aby zminimalizować koszty produkcji, a jednocześnie zaspokoić zapotrzebowanie rynku? Rozwiązać graficznie?
Rozwiązanie:
Dane problemu są następujące:
Teraz celem jest zminimalizowanie kosztów, które problem można przedstawić w sposób matematyczny w następujący sposób.
Aby wykreślić ograniczenia na wykresie, niech nierówności powyższych więzów zostaną zamienione na równości, które otrzymujemy
1500 x 1 + 1500 x 2 = 20000
3000 x 1 + 1000 x 2 = 40000
20000 x 1 + 5000 x 2 = 44000
Upraszczając powyższe równania, które mamy
Rozwiązanie będzie znajdować się w pierwszym kwadrancie, ponieważ każdy z nich jest większy lub równy ograniczeniom typu, więc punkty ( xv x 2 ) będą znajdować się w obszarze, który opada w prawo od każdej z narysowanych linii.
Na powyższym wykresie nierozdzielony obszar rozwiązania to ABC, a w celu znalezienia wartości w B rozwiązujemy równanie między przekrojami i jednocześnie.
Przykład 5:
Kierownik rafinerii ropy naftowej musi zadecydować o optymalnym połączeniu dwóch możliwych procesów mieszania, w których nakłady i produkcja na przebieg produkcji są następujące:
Maksymalna dostępna ilość surowego produktu A i B wynosi odpowiednio 200 jednostek i 150 jednostek. Wymagania rynku wskazują, że musi być wyprodukowanych co najmniej 100 jednostek ganoliny X, a więc jednostek benzyny Y.
Zyski na produkcję pochodzą z procesu 1, a proces 2 to Rs. 300 i Rs. 400 odpowiednio. Rozwiąż LP metodą graficzną.
(Gujarat University MBA 1989)
Rozwiązanie:
Jak na dane, matematyczne sformułowanie problemów jest
Max Z = 300x 1 + 400x 2
Z zastrzeżeniem
5x 1 + 4x 2 = ≤ 200
3x 1 + 5x 2 = ≤ 150
5x 1 + 4x 2 = ≥ 100
8x 1 + 4x 2 = ≥ 80
W celu wykreślenia tych ograniczeń na wykresie rozważmy je jako równania jako równanie, aby
Jeśli wykreślimy wartości na wykresie, otrzymamy go w sposób pokazany na Rys. 15.5.
Rozwiązanie leży w jednym z punktów narożnych regionu rozwiązania LMN, O, P i dla określenia nieznanej wartości tj. O rozwiązujemy równania skrzyżowania jednocześnie tj.
Przykład 6:
Firma sprawia, że produkt x i y ma łączną produkcję o mocy 9 ton. Na dzień x i y wymaga tej samej zdolności produkcyjnej. Firmy mają stałą umowę na dostawę co najmniej 2 ton xi co najmniej 3 tony dziennie dla innej firmy Każda tona x wymaga 20 godzin pracy maszyny, a każda tona y wymaga 50 godzin czasu pracy maszyny.
Dzienna maksymalna liczba godzin pracy maszyny to 360. Cała produkcja firmy może zostać sprzedana, a zysk osiąga Rs. 80 na tonę xi Rs. 120 za tonę y. Wymagane jest ustalenie harmonogramu produkcji dla maksymalnego zysku i obliczenie harmonogramu produkcji dla maksymalnego zysku i obliczenia zysku.
(Uniwersytet Delhi MBA, kwiecień 1983)
Rozwiązanie:
Dany LP może być napisany matematycznie w następujący sposób:
Niech nierówności będą traktowane jako równania w celu wykreślenia powyższych wartości na wykresie w następujący sposób:
Wykreślmy te równania na wykresie, jak pokazano na Rys. 15.6.
Z diagramu jasno wynika, że EFGH jest Regionem Rozwiązania, a rozwiązanie leży w punkcie narożnym EFGH.
Wartość przez inspekcję przy
E = (2, 3)
F = (6, 3)
Dla punktu "Wartość można obliczyć za pomocą równoczesnych równań interlinii linii w punkcie H. tj
20 x 1 + 50 x 2 = 360
x 1 = 2
x 2 = 320/50 = 6, 4
Jak mądry w punkcie G, który jest przecięciem równań
20x 1 + 50x 2 = 360 ... (1)
x 1 + x 2 = 9 ... (2)
Rozwiązujemy te równania, które otrzymujemy
x 1 = 3, x 2 = 6
Maksymalny zysk znajduje się w punkcie G.
x 1 = 3
x 2 = 6
Z = 960 Ans.
Przykład 7:
Standardowa waga cegieł specjalnego przeznaczenia wynosi 5 kg i zawiera dwa podstawowe składniki: 6 1 i S 2 - koszty Rs. 5 za kg i S 2 koszty Rs. 8 na kg.
Wytyczne dotyczące wytrzymałości narzucają, że cegła zawiera nie więcej niż 4 kg S, a minimum 2 kg S 2, ponieważ popyt na ten produkt prawdopodobnie będzie powiązany z ceną cegły, aby uzyskać graficznie minimalny koszt cegły spełniający powyższe warunki warunki.
(ICWA, czerwiec 1982)
Rozwiązanie:
Dane mogą być podane w formie matematycznej w następujący sposób:
Jeśli na razie potraktujemy nierówności ograniczeń jako równania, aby równanie można było narysować na wykresie, który wybraliśmy.
Teraz wypisujemy te wartości na wykresie.
Ponieważ jednym z ograniczeń jest równość x 1 + x 2 = 5. Nie ma rozwiązania, a raczej punkt rozwiązania, który spełnia wszystkie warunki, tj. Punkt S (3, 2)
Z = 31
x 1 = -3
x 2 = 2Ans.
Przykład 8:
Rozwiąż graficznie następujący problem programowania liniowego.
Rozwiązanie:
Za rysowanie wykresu konwertującego nierówności danych ograniczeń na równości, otrzymujemy
Teraz narysuj powyższe linie na wykresie, jak pokazano na ryc. 15.8. Możliwy region roztworu, który jest cieniowany i jest ograniczony przez ABCDE. Wartość Z w różnych punktach jest następująca.
Punkt A przecinające się linie to
2x 1 - x 2 = -2
2x 1 + 3x 2 = 12
Rozwiązujemy je jednocześnie
x 1 = 0, 75
x 2 = 3, 5
W punkcie B przecinają się linie
2x 1 - x 2 = -2
-3x 1 + 4x 2 = 12
Rozwiązując te równania otrzymujemy współrzędne B jako
x 1 = 0, 8
x 2 = 3, 6
W punkcie C przecinają się
x 1 = 4
i -3x 1 + 4x 2 = 12
Więc współrzędne C stają się
x 1 = 4 i x 2 = 6
W punkcie przecięcia linii D znajdują się
x 1 = 4 i x 2 = 2
Więc współrzędne D to (4, 2)
W punkcie E znajdują się równania międzysegmentowe
2x 1 + 3x 2 = 12
x 2 = 2
Tak więc stają się współrzędne E w rozwiązywaniu tych równań
x 1 = 3 ie (3, 2)
x = 2
