Normalna krzywa: znaczenie i zastosowania

Po przeczytaniu tego artykułu dowiesz się o: - 1. Znaczenie normalnej krzywej 2. Zastosowania / zastosowania normalnej krzywej / normalnego rozkładu 3. Tabela obszarów 4. Praktyczne problemy.

Znaczenie normalnej krzywej:

Normalna Krzywa ma ogromne znaczenie w ocenie umysłowej i ocenie edukacyjnej. Daje ważne informacje na temat mierzonej cechy.

Jeżeli wielokąt częstotliwości obserwacji lub pomiarów danej cechy jest krzywą normalną, oznacza to, że:

1. Mierzona cecha jest normalnie rozmieszczona we Wszechświecie.

2. Większość przypadków jest średnia dla mierzonej cechy, a ich odsetek w całej populacji wynosi około 68, 26%

3. Około 15, 87% przypadków (50-34, 13%) cechuje się wysoką mierzoną cechą.

4. Podobnie około 15, 87% przypadków ma niską wartość mierzoną.

5. Test, który służy do pomiaru cechy, jest dobry.

6. Test ma dobrą siłę dyskryminacji, ponieważ rozróżnia osoby o niskiej, średniej i wysokiej grupie umiejętności, oraz

7. Wykorzystane elementy testu są dość rozproszone pod względem poziomu trudności.

Aplikacje / zastosowania normalnej krzywej / normalnej dystrybucji:

Istnieje wiele zastosowań krzywej normalnej w dziedzinie pomiarów i oceny w psychologii i edukacji.

To są:

(i) Aby określić procent przypadków (w rozkładzie normalnym) w ramach danych limitów lub punktów.

(ii) Aby określić procent przypadków, które są powyżej lub poniżej danego wyniku lub punktu odniesienia.

(iii) Aby określić granice wyników, które obejmują określony procent przypadków.

(iv) Aby określić pozycję percentyla ucznia w jego grupie.

(v) Aby dowiedzieć się o wartość percentyla percentyla ucznia.

(vi) Aby porównać dwie dystrybucje pod względem nakładania się.

(vii) Aby określić względną trudność przedmiotów testowych, oraz

(viii) Dzielenie grupy na podgrupy według określonej umiejętności i przydzielanie ocen.

Tabela obszarów pod normalną krzywą:

W jaki sposób wykorzystujemy wszystkie powyższe zastosowania krzywej normalnej w pomiarach i ewaluacji psychologicznej i edukacyjnej. Przede wszystkim należy wiedzieć o tabeli obszarów pod normalną krzywą. W tabeli A podano ułamkowe części całkowitego obszaru pod normalną krzywą znalezioną między średnią a rzędną wzniesioną na różnych odległościach (sigma) od średniej.

Normalna tabela krzywych prawdopodobieństwa jest ogólnie ograniczona do obszaru pod jednostkową krzywą normalną z N = 1, σ = 1. W przypadku, gdy wartości N i σ są różne od tych, pomiary lub wyniki powinny zostać zamienione na wartości sigma (również określane jako wyniki standardowe lub wyniki Z).

Proces wygląda następująco:

Z = XM / σ lub Z = x / σ

W którym Z = Wynik standardowy

X = surowy wynik

M = Średnia z X wyników

σ = odchylenie standardowe wyników X.

Następnie w tabeli obszarów o normalnej krzywej prawdopodobieństwa określa się stosunek powierzchni między średnią a wartością Z. Chociaż całkowita powierzchnia w NP C. wynosi 1, ale dla wygody, całkowity obszar pod krzywą przyjmuje się za 10 000, ze względu na większą łatwość, z jaką można następnie obliczyć ułamkowe części całkowitej powierzchni.

Pierwsza kolumna tabeli, x / σ, podaje odległość w dziesiątych części zmierzonej na linii podstawowej dla krzywej normalnej od średniej jako początku. W rzędzie odległość x / σ jest podawana do drugiego miejsca po przecinku.

Aby znaleźć liczbę przypadków w normalnym rozkładzie między średnią a rzędną ustawioną w odległości la jednostki od średniej, przechodzimy w dół kolumny x / σ aż do osiągnięcia 1, 0 i w następnej kolumnie poniżej .00 bierzemy wpis naprzeciwko 1, 0, a mianowicie 3413.

Liczba ta oznacza, że ​​3413 przypadków na 10 000; lub 34, 13% całkowitej powierzchni krzywej leży między średnią a la. Podobnie, jeśli musimy znaleźć procent rozkładu między średnią a 1, 56 σ, powiedzmy, przechodzimy w dół kolumny x / σ do 1, 5, następnie w poziomie do kolumny z nagłówkiem 0, 06 i zanotujemy wpis 44.06. Jest to procent całkowitej powierzchni, która leży między średnią a 1, 56σ.

Do tej pory rozważaliśmy tylko odległości mierzone w kierunku dodatnim od średniej. W tym celu wzięliśmy pod uwagę tylko prawą połowę normalnej krzywej. Ponieważ krzywa jest symetryczna względem średniej, zapisy w Tabeli-A odnoszą się do odległości zmierzonych w kierunku ujemnym (w lewo), a także do tych zmierzonych w kierunku dodatnim.

Jeśli musimy znaleźć procent rozkładu między średnimi a -1, 28 σ, to na przykład wpisujemy 3997 w kolumnie .08, naprzeciwko 1, 2 w kolumnie x / σ. Ten wpis oznacza, że ​​39, 97 przypadków w rozkładzie normalnym przypada między średnią a -1.28σ.

Dla celów praktycznych przyjmujemy krzywą do końca w punktach -3σ i + 3σ odległych od średniej, ponieważ krzywa normalna faktycznie nie odpowiada linii podstawowej. Tabela obszaru pod normalną krzywą prawdopodobieństwa pokazuje, że 4986, 5 przypadków leży między średnią a rzędną przy + 3σ.

Zatem 93, 73 procent całego rozkładu mieściłoby się w granicach -3σ i + 3σ. Reszta 0, 27 procent rozkładu powyżej ± 3σ jest uważana za zbyt małą lub nieznaczną, z wyjątkiem sytuacji, gdy N jest bardzo duże.

Punkty, o których należy pamiętać podczas sprawdzania tabeli powierzchni pod normalną krzywą prawdopodobieństwa:

Aby uniknąć błędów, należy pamiętać o następujących punktach, sprawdzając tabelę NPC:

1. Każdy dany wynik lub obserwacja musi zostać przekonwertowany na standardową miarę, tj. Wynik Z, za pomocą następującego wzoru:

Z = XM / σ

2. Średnia z krzywej jest zawsze punktem odniesienia, a wszystkie wartości obszarów są podane jako odległości od średniej, która wynosi zero.

3. Obszar pod względem proporcji można przekształcić w procent i

4. Podczas sprawdzania tabeli należy przyjąć bezwzględne wartości Z. Jednak wartość ujemna Z pokazuje wyniki, a obszar leży poniżej średniej i fakt ten należy pamiętać podczas wykonywania dalszych obliczeń na obszarze. Dodatnia wartość Z pokazuje, że wynik leży powyżej średniej tj. Prawej strony.

Praktyczne problemy związane z zastosowaniem normalnej krzywej prawdopodobieństwa:

(a) Aby określić procent przypadków w normalnym rozkładzie w ramach danych limitów lub punktów.

Przykład 1:

Biorąc pod uwagę normalny rozkład 500 wyników z M = 40 i σ = 8, jaki procent przypadków wynosi od 36 do 48.

Rozwiązanie:

Wynik Z dla wyniku surowego 36. Z = XM / σ 36-40 / 8 = -4/8

lub Z = -05. σ

Wynik Z dla wyniku surowego 48. Z = 48-40 / 8 = 8/8 = +1.00

lub Z = + 1σ

Zgodnie z tabelą pod NPC (tabela -A), całkowity odsetek przypadków, które leżą między średnią a -, 5σ wynosi 19.15. Odsetek przypadków pomiędzy średnią a + 1σ wynosi 34, 13. Dlatego łączny odsetek przypadków, które mieszczą się między punktami 36 i 48, wynosi 19, 15 + 34, 13 = 53, 28.

(b) Aby określić pozycję percentyla studenta we własnej grupie:

Rangę percentyla definiuje się jako odsetek wyników poniżej danego wyniku:

Przykład 2:

Surowy wynik studenta klasy X w teście osiągnięć wynosi 60. Średnia z całej klasy wynosi 50 z odchyleniem standardowym. 5. Znajdź rangę percentyla ucznia.

Rozwiązanie:

Najpierw przeliczamy surowy wynik 60 do Z za pomocą formuły.

Zgodnie z tabelą obszaru pod NPC (tabela-A) powierzchnia krzywej leżąca między M i + 2σ wynosi 47, 72%. Całkowity odsetek przypadków poniżej wyniku 60 wynosi 50 + 47, 72 = 97, 72% lub 98%.

Tak więc, pozycja percentyla ucznia, który zabezpieczył 60 punktów w teście osiągnięć w klasie, wynosi 98.

(c) Aby określić wartość percentyla studenta, którego rangę percentyla jest znana.

Przykład 3:

W klasie punktowana pozycja Amita w klasie matematyki wynosi 75. Średnia z matematyki wynosi 60 z odchyleniem standardowym 10. Znajdź oceny Amita w teście osiągnięć matematycznych.

Rozwiązanie:

Zgodnie z definicją rangi percentyla pozycja Amita w skali NPC wynosi 25% punktów powyżej średniej.

Zgodnie z tabelą NPC wynik σ 25% przypadków ze średniej to + 0, 67σ.

Tak więc za pomocą wzoru:

Oceny Amita w matematyce to 67.

(d) Dzielenie grupy na podgrupy zgodnie z poziomem umiejętności

Przykład 4:

Biorąc pod uwagę grupę 500 studentów, którzy zostali poddani ogólnemu testowi zdolności umysłowych. Nauczyciel chce sklasyfikować grupę w pięciu kategoriach i przypisać im stopnie A, B, C, D, E według umiejętności. Zakładając, że ogólna zdolność umysłu jest zwykle rozprowadzana w populacji; obliczyć liczbę uczniów, którzy mogą być umieszczeni w grupach A, B, C, D i E.

Rozwiązanie:

Wiemy, że całkowity obszar Krzywej Normalnej rozciąga się od -3σ do + 3σ, czyli w zakresie 6σ.

Dzieląc ten zakres przez 5 otrzymujemy odległość σ dla każdej kategorii = 6σ / 5 = 1, 2σ. Zatem każda kategoria jest rozłożona na odległość 1.2σ. Kategoria C będzie leżeć pośrodku. Połowa jego powierzchni będzie poniżej średniej, a druga połowa powyżej średniej.

Odległość σ dla każdej kategorii jest pokazana na rysunku.

Zgodnie z tabelą NPC całkowity procent przypadków od średniej do .6σ wynosi 22, 57.

Całkowite przypadki pomiędzy -, 6 σ do + .6σ to 22, 57 + 22, 57 = 45, 14%.

W związku z tym w kategorii C całkowity odsetek studentów wynosi = 45, 14.

Podobnie, zgodnie z Tabelą NPC, całkowity odsetek przypadków ze Średniej do 1, 8σa wynosi 46, 41.

Całkowity odsetek oszczędności w kategorii B wynosi 46, 41 - 22, 57 = 23, 84%.

W kategorii A całkowity odsetek przypadków wyniesie 50 - 46, 41 = 3, 59%.

Podobnie w kategorii D i E całkowity odsetek studentów wyniesie odpowiednio 23, 84% i 3, 59.