Znaczenie różnicy między sposobami
Po przeczytaniu tego artykułu dowiesz się o znaczeniu różnicy między środkami.
Załóżmy, że chcemy sprawdzić, czy 12-letni chłopcy i 12-letnie dziewczęta ze szkół publicznych różnią się zdolnościami mechanicznymi. Ponieważ populacje takich chłopców i dziewcząt są zbyt duże, bierzemy losową próbkę takich chłopców i dziewcząt, przeprowadzamy test i obliczamy osobno chłopców i dziewczynki.
Załóżmy, że średni wynik takich chłopców wynosi 50, a takich dziewcząt 45. Zaznaczamy różnicę 5 punktów między środkami chłopców i dziewcząt. Może być faktem, że taka różnica mogła powstać w wyniku fluktuacji próbkowania.
Jeśli wyciągniemy dwie inne próbki, jedną z populacji 12-letnich chłopców i innych z populacji 12-letnich dziewcząt, znajdziemy jakąś różnicę między środkami, jeśli będziemy ją powtarzać przez długi czas w losowaniu próbek 12-letni chłopcy i 12-letnie dziewczęta przekonają się, że różnica między dwoma zestawami środków będzie różna.
Czasami ta różnica będzie dodatnia, czasem ujemna, a czasami równa zero. Rozkład tych różnic utworzy rozkład normalny wokół różnicy zero. SD tego rozkładu nazywa się standardowym błędem różnicy między średnimi.
Do tego używane są następujące symbole:
SEM 1 - M 2 lub SE D lub σ DM
Powstają dwie sytuacje w odniesieniu do różnic między średnimi:
(a) Te, w których środki są nieskorelowane / niezależne, oraz
(b) Te, w których środki są skorelowane.
(a) SE różnicy między dwoma niezależnymi środkami:
Środki są nieskorelowane lub niezależne, gdy są obliczane z różnych próbek lub z nieskorelowanych testów podawanych do tej samej próbki.
W takim przypadku mogą powstać dwie sytuacje:
(i) gdy środki są nieskorelowane lub niezależne, a próbki są duże, oraz
(ii) Kiedy środki są nieskorelowane lub niezależne, a próbki są małe.
(i) SE różnicy (SE D ), gdy środki są nieskorelowane lub niezależne, a próbki są duże:
W tej sytuacji SE D można obliczyć za pomocą następującego wzoru:
w którym SE D = Błąd standardowy różnicy średnich
SEm 1 = Błąd standardowy średniej pierwszej próbki
SEm 2 = Błąd standardowy średniej drugiej próbki
Przykład 1:
Dwie grupy, jedna ze 114 mężczyzn, a druga z 175 kobiet. Średnie wyniki dla mężczyzn i kobiet w teście budowy słowa wynosiły odpowiednio 19, 7 i 21, 0, a SD tych dwóch grup wynosi odpowiednio 6, 08 i 4, 89. Sprawdź, czy obserwowana różnica 1, 3 na korzyść kobiet jest znacząca na poziomie 0, 05 i na poziomie 0, 01.
Rozwiązanie:
Jest to test dwustronny → Ponieważ kierunek nie jest jasny.
Aby przetestować istotność uzyskanej różnicy między dwoma próbkami, możemy wykonać następujące kroki:
Krok 1:
Na pierwszym etapie musimy wyjaśnić, czy mamy wykonać test dwustronny, czy jednostronny. Tutaj chcemy sprawdzić, czy różnica jest znacząca. Jest to więc test dwustronny.
Krok 2:
Stworzyliśmy hipotezę zerową (H 0 ), że nie ma różnicy pomiędzy średnimi populacji mężczyzn i kobiet w budowaniu słów. Przyjmujemy, że różnica między wartościami dla populacji dwóch grup wynosi zero, tj. H o : D = 0.
Krok 3:
Następnie musimy zdecydować o poziomie istotności testu. W naszym przykładzie mamy przetestować różnicę na poziomie istotności .05 i .01.
Krok 4:
W tym kroku musimy obliczyć błąd standardowy różnicy między środkami, tj. SE D.
Ponieważ naszym przykładem są nieskorelowane średnie i duże próbki, musimy zastosować następującą formułę do obliczenia SE D :
Krok 5:
Po obliczeniu wartości SE D musimy wyrazić różnicę średnich próbek w przeliczeniu na SE D. Ponieważ naszym przykładem jest łatwość dużych próbek, będziemy musieli obliczyć Z, gdzie,
Krok 6:
W odniesieniu do charakteru testu w naszym przykładzie mamy ustalić wartość krytyczną dla Z z Tabeli A zarówno na poziomie .05, jak i na poziomie .01.
Z tabeli A, Z.05 = 1, 96 i Z.01 = 2, 58. (Oznacza to, że wartość Z, która ma być istotna na poziomie 0, 05 lub niższym, musi wynosić 1, 96 lub więcej).
Teraz 1, 91 <1, 96, zaznaczona różnica nie jest znacząca na poziomie .05 (tzn. Akceptowane jest 0 ).
Interpretacja:
Ponieważ próbka jest duża, możemy założyć normalną dystrybucję Z. Uzyskane Z właśnie nie osiąga poziomu istotności .05, który dla dużych próbek wynosi 1, 96.
W konsekwencji nie odrzucilibyśmy hipotezy zerowej i powiedzielibyśmy, że uzyskana różnica nie jest znacząca. Może rzeczywiście istnieć pewna różnica, ale nie mamy wystarczającej pewności.
Bardziej praktycznym wnioskiem byłoby, że mamy niewystarczające dowody jakiejkolwiek różnicy płci w zdolności do budowania słów, przynajmniej w populacji, z której pobrano próbki.
Przykład 2:
Dane dotyczące wyników chłopców i dziewcząt podano jako:
Sprawdź, czy chłopcy lub dziewczęta radzą sobie lepiej i czy różnica 1, 0 na korzyść chłopców jest znacząca na poziomie 0, 05. Jeśli uznamy różnicę za znaczącą, będzie to błąd typu 1.
Rozwiązanie:
1, 85 <1, 96 (Z .05 = 1, 96). W związku z tym przyjęto H 0, a wyraźna różnica 1, 0 na korzyść chłopców nie jest znacząca na poziomie 0, 05.
Jeśli uznamy różnicę za istotną, popełnimy błąd typu 1. Odczytując tabelę A stwierdzamy, że ± 1, 85 Z zawiera 93, 56% przypadków. W związku z tym akceptacja znaczącej różnicy jest znacząca, mamy 6, 44% (100 - 93, 56) źle, więc błąd typu 1 wynosi 0644.
Przykład 3:
Klasa A była nauczana w intensywnym ośrodku szkoleniowym, podczas gdy klasa B w normalnym nauczaniu klasowym. Pod koniec roku szkolnego klasy A i B wynosiły średnio 48 i 43, odpowiednio SD 6 i 7, 40.
Sprawdź, czy intensywny trening przyniósł średni wynik punktowy dla klasy A. Klasa A to 60 i klasa B 80 uczniów.
. . . 4, 42 to więcej niż Z.01 lub 2, 33. Więc H o jest odrzucony. Wyraźna różnica jest znacząca na poziomie 0, 01.
Stąd dochodzimy do wniosku, że intensywny trening przyniósł dobre średnie wyniki w klasie A.
(ii) SE różnicy (SE D ), gdy średnie są nieskorelowane lub niezależne, a próbki są małe:
Gdy wartości N dwóch niezależnych próbek są małe, SE różnicy dwóch średnich można obliczyć, stosując następujące dwie formuły:
Kiedy wyniki są podane:
w którym x 1 = X 1 - M 1 (tj. odchylenie wyników pierwszej próbki od średniej z pierwszej próbki).
X 2 = X 2 - M 2 (tj. Odchylenie wyników drugiej próbki od średniej)
Gdy podano średnie i odchylenia standardowe obu próbek:
Przykład 4:
Test odsetkowy jest przeprowadzany dla 6 chłopców w klasie Kształcenia Zawodowego i 10 chłopców w klasie łacińskiej. Czy średnia różnica między dwiema grupami jest istotna na poziomie 0, 05?
Wprowadzanie tabeli:
D stwierdzamy, że przy df = 14 krytyczna wartość t na poziomie 0, 05 wynosi 2, 14, a na poziomie 0, 01 2, 98. Obliczona wartość 1, 78 jest mniejsza niż 2, 14 na poziomie 0, 05.
Dlatego przyjmowane jest H 0 . Wnioskujemy, że nie ma istotnej różnicy między średnią punktową testu odsetkowego dwóch grup chłopców.
Przykład 5:
Inwentarz osobowości jest zarządzany w prywatnej szkole dla 8 chłopców, których zapisy zachowań są wzorowe, i dla 5 chłopców, których zapisy są bardzo słabe.
Dane podano poniżej:
Czy różnica między grupami oznacza znaczące na poziomie .05? na poziomie 01?
W Tabeli D stwierdzamy, że przy df 11 wartość krytyczna t na poziomie 0, 05 wynosi 2, 20, a na poziomie 0, 01 3, 11. Obliczona wartość 2, 28 to tylko 2, 20, ale mniej niż 3, 11.
Wnioskujemy, że różnica między środkami grupowymi jest znacząca na poziomie 0, 05, ale nieistotna na poziomie 0, 01.
Przykład 6:
W teście na rozumowanie arytmetyczne 11 dziesięcioletnich chłopców i 6 dziesięcioletnich dziewcząt otrzymało następujące wyniki:
Czy średnia różnica 2, 50 jest istotna na poziomie 0, 05?
Rozwiązanie:
Poprzez zastosowanie wzoru (43 b).
Wprowadzając tabelę D stwierdzamy, że przy df 15 wartość krytyczna t na poziomie 0, 05 wynosi 2, 13. Uzyskana wartość 1, 01 jest mniejsza niż 2, 13. Stąd zaznaczona różnica 2, 50 nie jest znacząca na poziomie 0, 05.
(b) SE różnicy między dwoma skorelowanymi środkami:
(i) Metoda pojedynczej grupy:
Zajmowaliśmy się już problemem ustalenia, czy różnica między dwoma niezależnymi środkami jest znacząca.
Teraz zajmujemy się znaczeniem różnicy między skorelowanymi środkami. Korelowane środki są uzyskiwane z tego samego testu podawanego tej samej grupie przy dwóch okazjach.
Załóżmy, że przeprowadziliśmy test dla grupy dzieci i po dwóch tygodniach powtarzamy test. Chcemy zmierzyć wpływ treningu lub treningu specjalnego na drugi zestaw wyników. W celu ustalenia istotności różnicy między środkami uzyskanymi w początkowym i końcowym badaniu.
Musimy użyć wzoru:
w którym σ M1 i σ M2 = SE początkowego i końcowego środka testowego
r 12 = Współczynnik korelacji między wynikami uzyskanymi podczas początkowych i końcowych testów.
Przykład 7:
Na początku roku akademickiego średni wynik 81 uczniów po teście osiągnięć edukacyjnych w czytaniu wynosił 35, a SD wynosił 5.
Pod koniec sesji średni wynik na równoważnej formie tego samego testu wynosił 38, a SD wynosił 4. Korelacja między wynikami uzyskanymi podczas początkowego i końcowego testu wynosiła 0, 53. Czy klasa poczyniła znaczne postępy w czytaniu w ciągu roku?
Możemy zestawiać nasze dane w tabelach w następujący sposób:
(Test na poziomie istotności .01)
Rozwiązanie:
Ponieważ zajmujemy się tylko postępem lub zyskiem, jest to test jednostronny.
Stosując wzór:
Ponieważ jest 81 uczniów, istnieje 81 par wyników i 81 różnic, tak więc df wynosi 81-1 lub 80. Z tabeli D, t dla 80 df wynosi 2, 38 na poziomie .02. (Tabela daje 2, 38 dla testu dwustronnego, który wynosi 0, 01 dla testu jednostronnego).
Uzyskane t = 6, 12 jest znacznie większe niż 2, 38. Stąd różnica jest znacząca. Wydaje się pewne, że klasa zrobiła znaczny postęp w czytaniu w ciągu roku szkolnego.
(ii) Metoda różnicowa:
Kiedy grupy są małe, używamy "metody różnicowej" ze względu na łatwe i szybkie obliczenia.
Przykład 8:
Dziesięciu osobników otrzymuje 5 kolejnych prób po teście z użyciem symbolu cyfry, z czego pokazano tylko wyniki dla prób 1 i 5. Czy średni zysk z początkowego do ostatecznego badania jest znaczący?
Kolumna różnicy znajduje się z różnicy między parami ocen. Średnia różnica wynosi 4, a SD około tej średniej (SD D )
Obliczanie SE średniej różnicy:
W którym SE MD = błąd standardowy średniej różnicy
SD = odchylenie standardowe wokół średniej różnicy.
Uzyskane t 5, 26> 2, 82. Nasze t o 5, 26 jest znacznie większe, niż 0, 01 poziomu 2, 82 i nie ma wątpliwości, że zysk z Trial 1 do Trial 5 jest znaczący.
(iii) Metoda równoważnych grup:
Dopasowanie według par:
Czasami możemy być zmuszeni porównać średnią wydajność dwóch równoważnych grup, które są dopasowane parami.
W metodzie równoważnych grup dopasowanie odbywa się początkowo parami, aby każda osoba w pierwszej grupie pasowała do drugiej grupy.
W takich przypadkach liczba osób w obu grupach jest taka sama, tj. N 1 = n 2 .
Tutaj możemy obliczyć SE D za pomocą wzoru:
w którym SE M1 andSE M2 = Błędy standardowe z końcowych wyników odpowiednio dla Grupy I i Grupy II.
r 12 = Współczynnik korelacji między wynikami końcowymi grupy I i grupy II.
Przykład 9:
Dwie grupy zostały utworzone na podstawie wyników uzyskanych przez uczniów w teście inteligencji. Jedna z grup (grupa eksperymentalna) otrzymała kilka dodatkowych instrukcji na miesiąc, a druga grupa (grupa kontrolowana) nie otrzymała takiej instrukcji.
Po miesiącu obie grupy otrzymały ten sam test, a dane dotyczące ostatecznych wyników podano poniżej:
Interpretacja:
Wprowadzając tabelę t (tabela D) z df 71, wartość krytyczna t na poziomie 0, 05 w przypadku jednostronnego testu wynosi 1, 67. Uzyskane t 2, 34> 1, 67. Stąd różnica jest znacząca na poziomie .05.
. . . Średnia wzrosła z powodu dodatkowych instrukcji.
Przy df równym 71 wartość krytyczna t na poziomie 0, 01 w przypadku jednostronnego testu wynosi 2, 38. W ten sposób uzyskano t 2, 34 <2, 38. Stąd różnica nie jest znacząca na poziomie .01.
Standardowy błąd różnicy między innymi statystykami:
(i) SE różnicy między nieskorygowanymi medianami:
Znaczenie różnicy między dwiema medianami uzyskanymi z niezależnych próbek można znaleźć na podstawie wzoru:
(ii) SE różnicy między odchyleniami standardowymi:
