Test Chi-Square: znaczenie, zastosowania i zastosowania
Po przeczytaniu tego artykułu dowiesz się o: - 1. Znaczenie testu Chi-Square 2. Poziomy znaczenia testu chi-kwadrat 3. Test chi-kwadrat pod hipotezą zerową 4. Warunki ważności 5. Właściwość addytywna 6. Zastosowania 7. Używa.
Znaczenie testu chi-kwadrat:
Test Chi-kwadrat (χ 2 ) stanowi przydatną metodę porównywania wyników uzyskanych eksperymentalnie z tymi, których można się spodziewać teoretycznie na podstawie pewnej hipotezy.
Tak więc Chi-kwadrat jest miarą rzeczywistej rozbieżności obserwowanych i oczekiwanych częstotliwości. Jest bardzo oczywiste, że znaczenie takiego środka byłoby bardzo duże w badaniach dotyczących pobierania próbek, w których niezmiennie badaliśmy rozbieżność między teorią a faktem.
Chi-kwadrat, jak widzieliśmy, jest miarą rozbieżności między spodziewanymi i obserwowanymi częstotliwościami i jako taki, jeśli nie ma różnicy między oczekiwaną i obserwowaną częstotliwością, wartość Chi-kwadrat wynosi 0.
Jeśli istnieje różnica między obserwowaną a oczekiwaną częstotliwością, wartość Chi-kwadrat byłaby większa niż 0. Oznacza to, że im większy jest kwadrat Chi, tym większe jest prawdopodobieństwo rzeczywistej dywergencji eksperymentalnie obserwowanej od oczekiwanych wyników.
Jeśli wyliczona wartość chi-square jest bardzo mała w porównaniu do jej wartości w tabeli, oznacza to, że rozbieżność pomiędzy rzeczywistymi i oczekiwanymi częstotliwościami jest bardzo mała i w konsekwencji dopasowanie jest dobre. Jeśli natomiast obliczona wartość chi-square jest bardzo duża w porównaniu z wartością jej tabeli, oznacza to, że rozbieżność pomiędzy oczekiwaną a obserwowaną częstotliwością jest bardzo duża, a zatem dopasowanie jest słabe.
Aby ocenić Chi-kwadrat, wchodzimy do Tabeli E z wyliczoną wartością kwadratu i odpowiednią liczbą stopni swobody. Liczba df = (r - 1) (c - 1), w której r jest liczbą wierszy, a c liczbą kolumn, w których tabele danych.
Tak więc w 2 x 2 tabeli stopni swobody są (2 - 1) (2 - 1) lub 1. Podobnie w tabeli 3 x 3, stopnie swobody są (3 - 1) (3 - 1) lub 4 i 3 x 4 stół stopnie swobody to (3 - 1) (4 - 1) lub 6.
Poziomy znaczenia testu chi-kwadrat:
Obliczone wartości χ 2 (Chi-kwadrat) są porównywane z wartościami w tabeli, aby stwierdzić, czy różnica między oczekiwaną i zaobserwowaną częstotliwością wynika z fluktuacji próbkowania i jako taka znacząca lub czy różnica wynika z innego powodu i jako takie znaczące. Rozbieżność teorii i faktów jest zawsze testowana pod kątem pewnych prawdopodobieństw.
Prawdopodobieństwa wskazują zakres zależności, którą możemy umieścić na wyciągniętym wniosku. Wartości z tabeli χ 2 są dostępne na różnych poziomach prawdopodobieństwa. Poziomy te nazywane są poziomami istotności. Zazwyczaj wartość χ 2 na poziomie .05 i .01 istotności dla danych stopni swobody jest widoczna w tabelach.
Jeśli obliczona wartość χ 2 jest większa niż wartość w tabeli, mówi się, że jest znacząca. Innymi słowy, rozbieżności między obserwowanymi a oczekiwanymi częstotliwościami nie można przypisać przypadkowi i odrzucamy hipotezę zerową.
Tak więc dochodzimy do wniosku, że eksperyment nie wspiera teorii. Z drugiej strony, jeśli obliczona wartość χ 2 jest mniejsza niż odpowiadająca jej wartość w tabeli, wówczas mówi się, że jest ona nieistotna na wymaganym poziomie istotności.
Oznacza to, że rozbieżność pomiędzy obserwowanymi wartościami (eksperyment) a oczekiwanymi wartościami (teorią) może być przypisana przypadkowi, tj. Fluktuacjom próbkowania.
Test Chi-Square pod hipotezą zerową:
Załóżmy, że otrzymaliśmy zestaw obserwowanych częstotliwości uzyskanych w pewnym eksperymencie i chcemy sprawdzić, czy wyniki eksperymentalne potwierdzają konkretną hipotezę lub teorię. Karl Pearson w 1990 r. Opracował test do badania istotności rozbieżności między wartościami eksperymentalnymi a wartościami teoretycznymi uzyskanymi w ramach pewnej teorii lub hipotezy.
Ten test jest znany jako test χ 2 i służy do sprawdzenia, czy odchylenie między obserwacją (eksperyment) a teorią można przypisać przypadkowi (fluktuacje pobierania próbek) lub jeśli tak naprawdę wynika to z nieodpowiedniości teorii w celu dopasowania do obserwowanej dane.
Zgodnie z hipotezą zerową stwierdzamy, że nie ma znaczącej różnicy między wartościami obserwowanymi (eksperymentalnymi) a teoretycznymi lub hipotetycznymi, tj. Istnieje dobra zgodność między teorią a eksperymentem.
Równanie dla chi-kwadrat (χ 2 ) jest następujące:
w którym f o = częstotliwość występowania obserwowanych lub eksperymentalnie określonych faktów
f e = spodziewana częstość występowania w przypadku niektórych hipotez.
Zatem chi-kwadrat jest sumą wartości uzyskanych przez podzielenie kwadratu różnicy między obserwowanymi i oczekiwanymi częstotliwościami przez oczekiwane częstotliwości w każdym przypadku. Innymi słowy, różnice między obserwowanymi a oczekiwanymi częstotliwościami są w każdym przypadku podniesione do kwadratu i podzielone przez oczekiwaną liczbę, a suma tych ilorazów wynosi χ 2 .
Kilka ilustracji testu chi-kwadrat wyjaśni powyższą dyskusję. Różnice f o i f e są zapisywane zawsze + ve.
1. Testowanie rozbieżności obserwowanych wyników z oczekiwanymi na hipotezie równego prawdopodobieństwa (hipotezy zerowej):
Przykład 1:
Dziewięćdziesiąt sześć osób jest proszonych o wyrażenie swojego stanowiska wobec zdania "Czy edukacja o AIDS powinna być włączona do programu nauczania na poziomie wyższym" przez zaznaczenie F (korzystne), I (obojętne) lub U (nieprzychylne).
Zaobserwowano, że 48 oznaczonych "F", 24 "I" i 24 "U":
(i) Sprawdź, czy zaobserwowane wyniki różnią się znacznie od oczekiwanych wyników, jeśli nie ma preferencji w grupie.
(ii) Sprawdź hipotezę, że "nie ma różnicy między preferencjami w grupie".
(iii) Interpretować ustalenia.
Rozwiązanie:
W celu obliczenia x 2 i wyciągnięcia wniosków można wykonać następujące kroki:
Krok 1:
Oblicz oczekiwane częstotliwości (f e ) odpowiadające obserwowanym częstotliwościom w każdym przypadku w ramach pewnej teorii lub hipotezy.
W naszym przykładzie teoria jest równa prawdopodobieństwa (hipotezy zerowej). W drugim rzędzie rozkład odpowiedzi, których można się spodziewać w hipotezy zerowej, jest wybierany równo.
Krok 2:
Oblicz odchylenia (f f - f e ) dla każdej częstotliwości. Każda z tych różnic jest podniesiona do kwadratu i podzielona przez jej f e (256/32, 64/32 i 64/32).
Krok 3:
Dodaj te wartości do obliczenia:
Krok 4:
Stopnie swobody w tabeli oblicza się ze wzoru df = (r - 1) (c - 1), który ma wynosić (3 - 1) (2 - 1) lub 2.
Krok 5:
Sprawdź obliczone (krytyczne) wartości χ 2 dla 2 df na pewnym poziomie istotności, zwykle 5% lub 1%.
Przy df = 2 wartość χ 2 jako istotna na poziomie 0, 01 wynosi 9, 21 (tabela E). Uzyskana wartość χ 2 wynosi 12> 9, 21.
ja. Stąd wyraźna rozbieżność jest znacząca.
ii. Hipoteza zerowa jest odrzucana.
iii. Wnioskujemy, że nasza grupa naprawdę faworyzuje tę propozycję.
Odrzucamy hipotezę "równej odpowiedzi" i dochodzimy do wniosku, że nasza grupa opowiada się za tezą.
Przykład 2:
Liczba wypadków samochodowych na tydzień w danej społeczności była następująca:
12, 8, 20, 2, 14, 10, 15, 6, 9, 4
Czy te częstotliwości są zgodne z przekonaniem, że warunki wypadkowe były takie same podczas tego 10-tygodniowego okresu?
Rozwiązanie:
Hipoteza zerowa - Ustaw hipotezę zerową, że podane częstotliwości (liczby wypadków na tydzień w danej społeczności) są zgodne z przekonaniem, że warunki wypadku były takie same w okresie 10-tygodniowym.
Ponieważ całkowita liczba wypadków w ciągu 10 tygodni to:
12 + 8 + 20 + 2 + 14 + 10 + 15 + 6 + 9 + 4 = 100.
Zgodnie z hipotezą zerową wypadki te powinny być równomiernie rozłożone w ciągu 10-tygodniowego okresu, a zatem spodziewana liczba wypadków w każdym z 10 tygodni wynosi 100/10 = 10.
Ponieważ obliczona wartość χ 2 = 26, 6 jest większa niż wartość w tabeli, 21, 666. Jest to znaczące i hipoteza zerowa została odrzucona na poziomie istotności .01. Stąd dochodzimy do wniosku, że warunki wypadkowe z pewnością nie są jednolite (takie same) w ciągu 10-tygodniowego okresu.
2. Testowanie rozbieżności obserwowanych wyników z oczekiwanymi na podstawie hipotezy o rozkładzie normalnym:
Hipoteza, zamiast być jednakowo prawdopodobną, może być zgodna z normalnym rozkładem. Przykład ilustruje, w jaki sposób hipoteza ta może być testowana przez chi-kwadrat.
Przykład 3:
Dwustu sprzedawców zostało sklasyfikowanych w trzech grupach jako bardzo dobre, satysfakcjonujące i słabe przez konsensus menedżerów sprzedaży.
Czy ten rozkład ocen różni się znacząco od tego, którego można się spodziewać, jeśli zdolność sprzedaży jest zwykle dystrybuowana w naszej populacji sprzedawców?
Stworzyliśmy hipotezę, że zdolność sprzedaży jest zwykle dystrybuowana. Krzywa normalna rozciąga się od - 3σ do + 3σ. Jeżeli zdolność sprzedaży jest normalnie rozłożona, linię podstawową można podzielić na trzy równe segmenty, tj
(+ 1σ do + 3σ), (- 1σ do + 1σ) i (- 3σ do - 1σ) reprezentujących odpowiednio dobrych, zadowalających i słabych sprzedawców. Odnosząc się do Tablicy A stwierdzamy, że 16% przypadków leży między + 1σ i + 3σ, 68% pomiędzy - 1σ i + 1σ i 16% pomiędzy - 3σ i - 1σ. W przypadku naszego problemu 16% z 200 = 32 i 68% z 200 = 136.
df = 2. P jest mniejsze niż .01
Obliczono χ 2 = 72, 76
Obliczono χ 2 72, 76> 9, 21. Stąd P jest mniejsze niż .01.
. Rozbieżność pomiędzy obserwowanymi częstotliwościami a oczekiwanymi częstotliwościami jest dość znaczna. Na tej podstawie należy odrzucić hipotezę o normalnym rozkładzie zdolności do sprzedaży w tej grupie. Stąd dochodzimy do wniosku, że rozkład ocen różni się od spodziewanego.
3. Test chi-kwadrat, gdy nasze oczekiwania są oparte na wcześniej określonych wynikach:
Przykład 4:
W eksperymencie dotyczącym rozmnażania grochu naukowiec uzyskał następujące dane:
Teoria przewiduje udział ziarna, w czterech grupach A, B, C i D powinno być 9: 3: 3: 1. W eksperymencie spośród 1600 ziaren, liczby w czterech grupach wynosiły 882, 313, 287 i 118. Czy wyniki eksperymentu wspierają teorię genetyczną? (Test na poziomie .05).
Rozwiązanie:
Stworzyliśmy hipotezę zerową, że nie ma znaczącej różnicy między wartościami eksperymentalnymi a teorią. Innymi słowy, istnieje dobra zgodność między teorią a eksperymentem, tj. Teoria wspiera eksperyment.
Ponieważ obliczona wartość χ 2 wynosi 4, 726 <7, 81, nie jest znacząca. Stąd też hipoteza zerowa może być zaakceptowana na poziomie 0, 05 i możemy stwierdzić, że wyniki eksperymentalne potwierdzają teorię genetyczną.
4. Test Chi-kwadrat, gdy wpisy w tabeli są małe:
Gdy wpisy w tabeli są małe, a tabela jest 2 x 2-krotnie, tj. Df = 1, χ 2 podlega znacznemu błędowi, chyba że zostanie wprowadzona korekta ciągłości (zwana korektą Yatesa).
Przykład 5:
Czterdziestu szczurom zaoferowano możliwość wyboru między dwiema trasami. Stwierdzono, że 13 wybrało oświetlone trasy (tj. Trasy o większym natężeniu światła), a 27 wybrało ciemne trasy.
(i) Sprawdź hipotezę, że oświetlenie nie ma wpływu na preferencje tras dla szczurów (Test na poziomie 0, 05).
(ii) Sprawdź, czy szczury preferują ciemne trasy.
Rozwiązanie:
Jeżeli oświetlenie nie ma różnicy w preferencji tras, tj. Jeśli H 0 jest prawdziwe, proporcjonalna preferencja wynosiłaby 1/2 dla każdej trasy (tj. 20).
W naszym przykładzie mamy odjąć 0, 5 od każdej (f-f) różnicy z następującego powodu:
Dane można zestawiać w następujący sposób:
Gdy oczekiwane wpisy w tabeli 2 x 2-krotnie są takie same jak w naszym problemie, wzór dla chi-kwadrat może być napisany w nieco krótszej formie w następujący sposób:
(i) Krytyczna wartość χ 2 na poziomie .05 wynosi 3, 841. Uzyskane χ 2 z 4, 22 jest większe niż 3, 841. Stąd hipoteza zerowa jest odrzucana na poziomie .05. Najwyraźniej światło lub ciemność jest czynnikiem wyboru szczurów dla tras.
(ii) W naszym przykładzie musimy wykonać test jednostronny. Wprowadzając tabelę E stwierdzamy, że χ 2 z 4, 22 ma P = 0, 043 (przez interpolację).
. P / 2 = 0, 0215 lub 2%. Innymi słowy, są dwie szanse na 100, że taka rozbieżność wystąpiłaby.
Dlatego też zaznaczamy, że rozbieżność jest znacząca na poziomie 02.
Dlatego dochodzimy do wniosku, że szczury preferują ciemne trasy.
5. Test niezależności Chi-kwadrat w tabelach kontyngencji:
Czasami możemy spotkać się z sytuacjami, które wymagają od nas sprawdzenia, czy istnieje jakaś relacja (lub powiązanie) między dwiema zmiennymi lub atrybutami. Innymi słowy, χ 2 można zrobić, gdy chcemy zbadać związek między cechami lub atrybutami, które można podzielić na dwie lub więcej kategorii.
Na przykład możemy zostać poproszeni o sprawdzenie, czy kolor oczu ojca jest związany z kolorem oczu synów, czy status społeczno-ekonomiczny rodziny wiąże się z preferencjami różnych marek towaru, czy to wykształcenia para i wielkość rodziny są powiązane, czy dana szczepionka ma wpływ kontrolujący na konkretną chorobę itp.
Aby wykonać test przygotowujemy koniec tabeli kontyngencji, aby obliczyć f e (oczekiwana częstotliwość) dla każdej komórki tabeli kontyngencji, a następnie obliczyć χ 2 za pomocą wzoru:
Hipoteza zerowa:
χ 2 oblicza się przy założeniu, że dwa atrybuty są od siebie niezależne, tj. nie ma związku między tymi dwoma atrybutami.
Obliczanie oczekiwanej częstotliwości komórki jest następujące:
Przykład 6:
W pewnej próbie 2000 rodzin, 1400 rodzin jest konsumentami herbaty, gdzie 1236 to rodziny hinduskie, a 164 nie są hinduskie.
A 600 rodzin nie jest konsumentami herbaty, gdzie 564 to rodziny hinduskie, a 36 nie są hinduskie. Użyj χ 2 - sprawdź i stwierdź, czy jest jakaś istotna różnica pomiędzy spożywaniem herbaty wśród hinduskich i nie-hinduskich rodzin.
Rozwiązanie:
Powyższe dane mogą być ułożone w formie tabeli kontyngencji 2 x 2, jak podano poniżej:
Stworzyliśmy hipotezę zerową (H 0 ), że dwa atrybuty mianowicie., "Spożywanie herbaty" i "wspólnota" są niezależne. Innymi słowy, nie ma znaczącej różnicy między spożywaniem herbaty wśród hinduskich i nie-hinduskich rodzin.
Ponieważ obliczona wartość χ 2, a mianowicie, 15, 24 jest znacznie większa niż wartość z tablicy 2 at 2 na poziomie .01 istotności; wartość χ 2 jest wysoce znacząca, a hipoteza zerowa jest odrzucana.
Stąd dochodzimy do wniosku, że obie społeczności (hinduskie i nie-hinduskie) różnią się znacznie pod względem spożycia herbaty wśród nich.
Przykład 7:
Poniższa tabela pokazuje dane uzyskane podczas epidemii cholery.
Zbadaj skuteczność inokulacji w zapobieganiu atakowi cholery.
Rozwiązanie:
Stworzyliśmy hipotezę zerową (H 0 ), że dwa atrybuty mianowicie., Inokulacja i brak ataku cholery nie są powiązane. Te dwa atrybuty w podanej tabeli są niezależne.
Na podstawie naszej hipotezy możemy obliczyć spodziewane częstotliwości w następujący sposób:
Obliczenie (f e ):
Pięć procent wartości χ 2 dla 1 df wynosi 3, 841, co jest wartością znacznie mniejszą niż obliczona wartość χ 2 . W świetle tego wniosek jest oczywisty, że hipoteza jest nieprawidłowa i związane są z nią szczepienia i brak ataku cholery.
Warunki ważności testu chi-kwadrat:
Statystyka testu chi-kwadrat może być użyta, jeśli spełnione są następujące warunki:
1. N, całkowita częstotliwość powinna być dość duża, powiedzmy większa niż 50.
2. Obserwacje próbek powinny być niezależne. Oznacza to, że żadna pojedyncza pozycja nie powinna być dwukrotnie lub więcej w próbie.
3. Ograniczenia częstości komórek, jeżeli istnieją, powinny być liniowe (tj. Nie powinny obejmować kwadratów i wyższych mocy częstotliwości), takie jak Σf o = Σf e = N.
4. Żadna teoretyczna częstotliwość nie powinna być mała. Małe jest pojęciem względnym. Korzystnie każda teoretyczna częstotliwość powinna być większa niż 10, ale w każdym przypadku nie mniejsza niż 5.
Jeśli jakakolwiek teoretyczna częstotliwość jest mniejsza niż 5, wówczas nie możemy zastosować testu χ 2 jako takiego. W takim przypadku używamy techniki "łączenia", która polega na dodawaniu częstotliwości mniejszych niż 5 z poprzednią lub następną częstotliwością (częstotliwościami), tak aby wynikowa suma była większa niż 5 i odpowiednio dostosowana dla stopni swobody.
5. Podanego rozkładu nie należy zastępować względnymi częstotliwościami lub proporcjami, ale dane należy podać w oryginalnych jednostkach.
6. Korekta Yatesa powinna być stosowana w szczególnych okolicznościach, gdy df = 1 (tj. W tabelach 2 x 2) i gdy wpisy komórek są małe.
7. Test χ 2 jest najczęściej używany jako test bezkierunkowy (tzn. Wykonujemy test dwustronny). Jednak mogą zdarzyć się sytuacje, w których in 2 testy mogą być wykorzystane do przeprowadzenia jednostronnego testu.
W jednostronnym teście podwoimy wartość P. Na przykład przy df = 1, wartość krytyczna χ 2 na poziomie 05 wynosi 2.706 (2.706 to wartość zapisana poniżej poziomu 10) i wartość krytyczna; χ 2 na poziomie .01 to 5.412 (wartość jest zapisana pod poziomem .02).
Właściwość addytywna testu Chi-Square:
χ 2 ma bardzo przydatną właściwość dodawania. Jeśli przeprowadzono kilka badań próbek w tej samej dziedzinie, wyniki można zebrać, aby uzyskać dokładny obraz rzeczywistej pozycji.
Załóżmy, że przeprowadzono dziesięć eksperymentów, aby sprawdzić, czy dana szczepionka jest skuteczna przeciwko konkretnej chorobie. Teraz tutaj będziemy mieli dziesięć różnych wartości χ 2 i dziesięć różnych wartości df.
Możemy dodać dziesięć χ 2, aby uzyskać jedną wartość i podobnie dziesięć wartości df można również dodać razem. Zatem będziemy mieli jedną wartość χ 2 i jedną wartość stopni swobody. Teraz możemy przetestować wyniki wszystkich tych dziesięciu eksperymentów połączonych razem i dowiedzieć się wartości P.
Załóżmy, że przeprowadzono pięć niezależnych eksperymentów w danej dziedzinie. Załóżmy, że w każdym przypadku wystąpił jeden df i uzyskano następujące wartości χ 2 .
Teraz na poziomie 5% istotności (lub dla P - .05) wartość χ 2 dla jednego df wynosi 3, 841. Z wyliczonych wartości χ 2 podanych powyżej zauważamy, że tylko w jednej łatwości, tj. W eksperymencie nr 3 obserwowana wartość χ 2 jest mniejsza niż wartość z tabeli 3, 841.
Oznacza to, że w odniesieniu do tego eksperymentu różnica jest nieznaczna, ale w pozostałych czterech przypadkach wyliczona wartość χ 2 jest większa niż 3, 841 i jako taka przy poziomie istotności 5% różnica między oczekiwaną a rzeczywistą częstotliwością jest znacząca. .
Jeśli dodamy wszystkie wartości χ 2 otrzymamy (4, 3 + 5, 7 + 2, 1 + 3, 9 + 8, 3) lub 24, 3. Suma stopni swobody wynosi 5. Oznacza to, że obliczona wartość χ 2 dla 5 df wynosi 24, 3.
Jeśli spojrzymy na tabelę χ 2, stwierdzimy, że przy 5% poziomie istotności dla 5 df wartość χ 2 wynosi 11, 070. Obliczona wartość χ 2, która wynosi 24, 3, jest znacznie wyższa niż wartość w tabeli, a zatem możemy stwierdzić, że różnica pomiędzy częstotliwościami obserwowanymi a oczekiwanymi jest znacząca.
Nawet jeśli przyjmujemy 1% poziom istotności (lub P = .01), wartość tabeli χ 2 wynosi tylko 15.086. Tak więc prawdopodobieństwo uzyskania wartości χ 2 równej lub wyższej niż 24, 3 w wyniku fluktuacji próbkowania jest znacznie mniejsze niż równe 0, 01 lub inaczej różnica jest znacząca.
Zastosowania Chi-Test:
Aplikacje statystyki χ 2 mogą zostać omówione poniżej:
1. Testowanie rozbieżności obserwowanych wyników z oczekiwanymi rezultatami, gdy nasze oczekiwania są oparte na hipotezie równego prawdopodobieństwa.
2. Test chi-kwadrat, gdy oczekiwania są oparte na rozkładzie normalnym.
3. Test chi-kwadrat, gdy nasze oczekiwania są oparte na wcześniej określonych wynikach.
4. Korekta nieciągłości lub korekta Yatesa przy obliczaniu χ 2 .
5. Test niezależności chi-kwadrat w tabelach kontyngencji.
Zastosowania testu Chi-Square:
1. Chociaż test jest przeprowadzany pod kątem częstotliwości, można go najlepiej postrzegać koncepcyjnie jako test o proporcjach.
2. Test is 2 służy do testowania hipotezy i nie jest przydatny do oszacowania.
3. Test Chi-kwadrat może być zastosowany do złożonej tabeli kontyngencji z kilkoma klasami.
4. Test chi-kwadrat ma bardzo przydatną właściwość, tj. "Właściwość dodatku". Jeśli kilka badań próbek jest przeprowadzanych w tym samym polu, wyniki można połączyć w jedno. Oznacza to, że można dodać χ 2- wartości.
